Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Preparam um recipiente térmico adiabático contendo
\mathbf{1 5} \mathbf{~ k g} de gelo a -\mathbf{1 0}^{\circ} \mathbf{C} e \mathbf{1 2 0} latas com \mathbf{3 5 0 ~ m L} de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio ( \mathbf{3 0 ~ g} cada) e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de \mathbf{2 5}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água. Calcule a temperatura final dentro do recipiente quando o sistema entrar em equilíbrio térmico.
a) Qual á quantidade de gelo que resta quando o sistema atinge o equilíbrio térmico? Justifique.
b) Qual é a temperatura final no equilíbrio térmico?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema adiabático contendo
  • m_{\text{gelo}}=15\;\mathrm{kg} de gelo a -10^\circ\mathrm{C},
  • N=120 latas de refrigerante, cada uma com volume V=350\;\mathrm{mL} (densidade \approx da água) e massa da lata m_{\text{Al,unit}}=30\;\mathrm{g}, todas a 25^\circ\mathrm{C}.
O objetivo é achar a temperatura de equilíbrio térmico e a massa de gelo que resta. Vamos usar conservação de energia (adiabático) e os seguintes dados:
c_{\text{gelo}}=2100\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\,\mathrm{K}},\quad c_{\text{água}}=4186\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\,\mathrm{K}},\quad c_{\text{Al}}=900\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\,\mathrm{K}},\quad L_f=334\times10^{3}\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}.á

Passo 2

Calcular o calor liberado ao resfriar o refrigerante (água) e as latas (alumínio) de 25^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
A massa total de água é
m_{\text{água}}=N\cdot V\cdot\rho =120\cdot0{,}350\;\mathrm{L}\cdot1\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{L}} =42\;\mathrm{kg}.á
A massa total de alumínio é
m_{\text{Al}}=N\cdot m_{\text{Al,unit}} =120\cdot0{,}030\;\mathrm{kg} =3{,}6\;\mathrm{kg}.
O calor liberado é
Q_{\text{lib}}=m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\Delta T + m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\,\Delta T,áá
com \Delta T=25-0=25\;\mathrm{K}.
Q_{\text{lib}} =42\cdot4186\cdot25 + 3{,}6\cdot900\cdot25 \approx 4{,}396\times10^{6} + 8{,}10\times10^{4} =4{,}477\times10^{6}\;\mathrm{J}.

Passo 3

Calcular o calor necessário para elevar a temperatura do gelo de -10^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{aquec}}=m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-10)) =15\cdot2100\cdot10 =3{,}15\times10^{5}\;\mathrm{J}.

Passo 4

Para que o gelo derreta completamente, seria preciso ainda somar
Q_{\text{fusão total}}=m_{\text{gelo}}\,L_f =15\cdot334\times10^{3} =5{,}01\times10^{6}\;\mathrm{J}.ã
Como
Q_{\text{lib}} < Q_{\text{aquec}} + Q_{\text{fusão total}} \quad\Longrightarrow\quad 4{,}477\times10^{6} < 3{,}15\times10^{5} + 5{,}01\times10^{6},ã
não haverá fusão total do gelo. Logo, a temperatura final do sistema será 0^\circ\mathrm{C} e parte do gelo permanecerá.

Passo 5

Determinar a massa M de gelo que efetivamente funde usando
Q_{\text{lib}} = Q_{\text{aquec}} + L_f\,M \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{Q_{\text{lib}} - Q_{\text{aquec}}}{L_f}.
Substituindo:
M = \frac{4{,}477\times10^{6} - 3{,}15\times10^{5}}{334\times10^{3}} \approx \frac{4{,}162\times10^{6}}{334\times10^{3}} \approx12{,}468\;\mathrm{kg}.
Portanto, a massa de gelo que resta é
m_{\text{restante}} =15 - 12{,}468 \approx 2{,}532\;\mathrm{kg}.

Resposta

a) A massa de gelo que permanece é aproximadamente 2,53\;\mathrm{kg}.
b) A temperatura final de equilíbrio térmico é 0^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados