Uma molécula de hidrogênio escapa de um forno a T=4000 \mathrm{~K}, através de um pequeno furo.
Qual é a velocidade que a molécula de hidrogênio passa pelo furo?
Resp: \mathbf{7 , 0 3 \times 1 0}{ }^{\mathbf{3}} \mathbf{~ m} / \mathbf{s}

Passo 1

O enunciado diz que uma molécula de hidrogênio ( H_2) escapa de um forno a T = 4000\;\mathrm{K} por um pequeno furo. Precisamos estimar a velocidade típica dessa molécula ao passar pelo furo. O conteúdo envolvido é a teoria cinética dos gases e, em particular, a velocidade quadrática média (root-mean-square) da distribuição de Maxwell–Boltzmann.

Passo 2

Na teoria cinética dos gases, a energia cinética média de uma molécula em três dimensões satisfaz
\tfrac12\,m\langle v^2\rangle = \tfrac32\,k_B\,T
onde m é a massa da molécula e k_B é a constante de Boltzmann. Desse modo, definimos a velocidade quadrática média como
v_{\rm rms}=\sqrt{\langle v^2\rangle} =\sqrt{\frac{3\,k_B\,T}{m}}.

Passo 3

A massa de uma molécula de H_2 é o dobro da massa atômica do hidrogênio. Tomando
m_{\rm H}=1{,}67\times10^{-27}\,\mathrm{kg},
temos
m = 2\,m_{\rm H} = 2\times1{,}67\times10^{-27} =3{,}34\times10^{-27}\,\mathrm{kg}.

Passo 4

Substituindo T=4000\;\mathrm{K}, k_B=1{,}38\times10^{-23}\;\mathrm{J/K} e m=3{,}34\times10^{-27}\;\mathrm{kg} em
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3\,k_B\,T}{m}}
obtemos
v_{\rm rms} =\sqrt{\frac{3\times1{,}38\times10^{-23}\times4000}{3{,}34\times10^{-27}}}.

Passo 5

Calculando o radicando:
3\times1{,}38\times10^{-23}\times4000 = 1{,}656\times10^{-19}, \quad \frac{1{,}656\times10^{-19}}{3{,}34\times10^{-27}} = 4{,}96\times10^{7},
v_{\rm rms}=\sqrt{4{,}96\times10^{7}} \approx7{,}04\times10^{3}\,\mathrm{m/s},
que, com arredondamento, dá cerca de 7{,}03\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

\displaystyle 7{,}03\times10^{3}\,\mathrm{m/s}

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