A corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação
, na qual
é a corrente inicial (em
) e
é uma constante que tem dimensões de tempo.
(A) qual é a carga em Coulomb que passa através de uma seção transversal do fio no intervalo de tempo
?
(B) Quanta carga passa por esse condutor entre
e
?
(A) qual é a carga em Coulomb que passa através de uma seção transversal do fio no intervalo de tempo
(B) Quanta carga passa por esse condutor entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a corrente em um fio diminui com o tempo de forma exponencial. A equação dada é $ i(t) = i_{0} \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $, onde $ i_{0} $ é a corrente inicial quando $ t = 0 $ e $ \tau $ é uma constante de tempo. Vamos precisar usar o conceito de carga elétrica, que está relacionada à corrente através da integração da corrente no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica $ Q $ que passa por um ponto do fio é a integral da corrente $ i(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
Isso porque a corrente é a taxa de fluxo de carga.
Passo 3
Para a parte (A), queremos saber a carga que passa entre $ t = 0 $ e $ t = \tau $. Então, vamos calcular a integral definida desses limites:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de $ \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $ em relação a $ t $ é $ -\tau \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $. Então:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ t = \tau $:
Para $ t = 0 $:
Subtraindo:
Passo 6
Calculando $ 1 - \exp(-1) $, que é aproximadamente $ 1 - 0,3679 = 0,6321 $. Então:
Passo 7
Agora, para a parte (B), queremos saber a carga que passa de $ t = 0 $ até $ t = \infty $. Então, a integral fica:
Passo 8
Resolvendo essa integral, temos:
Passo 9
Substituindo os limites:
Para $ t = \infty $:
Para $ t = 0 $:
Subtraindo:
Resposta
(A) A carga que passa entre $ t = 0 $ e $ t = \tau $ é aproximadamente $ Q \approx 0,6321 \cdot i_{0} \cdot \tau $ Coulombs.
(B) A carga que passa entre $ t = 0 $ e $ t = \infty $ é $ Q = i_{0} \cdot \tau $ Coulombs.