A corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação i(t)=i0 cdot exp (-t / tau), na qual i0 é a corrente inicial (em t=0 ) e tau é uma constante que tem dimensões de tempo.
(A) qual é a carga em Coulomb que passa através de uma seção transversal do fio no intervalo de tempo t=0 e t=tau ?
(B) Quanta carga passa por esse condutor entre t=0 e t=infty ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a corrente em um fio diminui com o tempo de forma exponencial. A equação dada é $ i(t) = i_{0} \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $, onde $ i_{0} $ é a corrente inicial quando $ t = 0 $ e $ \tau $ é uma constante de tempo. Vamos precisar usar o conceito de carga elétrica, que está relacionada à corrente através da integração da corrente no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica $ Q $ que passa por um ponto do fio é a integral da corrente $ i(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
Q
Isso porque a corrente é a taxa de fluxo de carga.

Passo 3

Para a parte (A), queremos saber a carga que passa entre $ t = 0 $ e $ t = \tau $. Então, vamos calcular a integral definida desses limites:
t = 0

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de $ \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $ em relação a $ t $ é $ -\tau \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) $. Então:
exp(-ttau)

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ t = \tau $:
t = tau
Para $ t = 0 $:
-tau exp(-tautau) = -tau exp(-1)
Subtraindo:
t = 0

Passo 6

Calculando $ 1 - \exp(-1) $, que é aproximadamente $ 1 - 0,3679 = 0,6321 $. Então:
1 - exp(-1)

Passo 7

Agora, para a parte (B), queremos saber a carga que passa de $ t = 0 $ até $ t = \infty $. Então, a integral fica:
t = 0

Passo 8

Resolvendo essa integral, temos:
Q = i0 cdot [ -tau exp(-ttau) ]0^infty

Passo 9

Substituindo os limites:
Para $ t = \infty $:
t = infty
Para $ t = 0 $:
-tau exp(-inftytau) = -tau cdot 0 = 0
Subtraindo:
t = 0

Resposta

(A) A carga que passa entre $ t = 0 $ e $ t = \tau $ é aproximadamente $ Q \approx 0,6321 \cdot i_{0} \cdot \tau $ Coulombs.
(B) A carga que passa entre $ t = 0 $ e $ t = \infty $ é $ Q = i_{0} \cdot \tau $ Coulombs.

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