Duas ondas senoidas
e
têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no sentido contrário em uma corda. As amplitudes são
e
, e as constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente.
Escreva a onda resultante na forma da uma onda senoidal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas ondas senoidais que têm o mesmo comprimento de onda e estão se movendo em direções opostas numa corda. As amplitudes são 5,0 mm e 8,0 mm, e as constantes de fase são 45° e 60°, respectivamente. Nosso objetivo aqui é somar essas duas ondas para encontrar a onda resultante também na forma de uma onda senoidal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões das duas ondas individualmente. Como as ondas estão se movendo em sentidos opostos, uma terá um termo positivo e a outra um termo negativo no argumento da função seno. Vamos considerar que ambas têm a mesma frequência angular ω e o mesmo número de onda k.
Então, temos:
Aqui, $ y_{\mathrm{m}1} = 5,0 $ mm, $ y_{\mathrm{m}2} = 8,0 $ mm, $ \phi_1 = 45° $ e $ \phi_2 = 60° $.
Passo 3
Agora, vamos somar as duas ondas para encontrar a onda resultante $ y(x, t) $:
Substituindo as expressões das ondas:
Passo 4
Para simplificar essa soma, vamos usar a identidade trigonométrica para a soma de duas funções seno:
Mas nesse caso, como as ondas têm a mesma frequência e direção oposta, podemos simplificar usando termos de seno e cosseno diretamente.
Passo 5
Vamos reescrever as ondas para facilitar a soma. Observando que $ \sin(-kx - \omega t + 60°) = \sin(- (kx + \omega t) + 60°) = \sin(kx + \omega t - 60°) $ (usando a propriedade $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, mas ajustando o ângulo para manter a positividade).
Então, temos:
Passo 6
Vamos agora combinar esses termos. Para isso, consideramos que $ \omega t $ é comum e podemos reescrever a expressão agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Para somar essas duas ondas, vamos utilizar a fórmula da soma de senos com diferentes fases:
onde $ C $ e $ \phi $ são a amplitude e a fase resultantes que podemos encontrar usando as relações:
Passo 8
Aplicando os valores dados:
Calculamos as componentes:
Passo 9
Calculando os valores:
Então:
Passo 10
Agora, para encontrar a amplitude resultante $ C $, usamos:
Passo 11
Para encontrar a fase $ \phi $, usamos:
Resposta
A onda resultante é uma onda senoidal com amplitude de aproximadamente 12,89 mm e fase de 54°, dada por: