Duas ondas senoidas y1(x, t) e y2(x, t) têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no sentido contrário em uma corda. As amplitudes são ym 1=5,0 mm e ym 2= 8,0 mm, e as constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente.
(0,7) Escreva a onda resultante na forma da uma onda senoidal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas ondas senoidais que têm o mesmo comprimento de onda e estão se movendo em direções opostas numa corda. As amplitudes são 5,0 mm e 8,0 mm, e as constantes de fase são 45° e 60°, respectivamente. Nosso objetivo aqui é somar essas duas ondas para encontrar a onda resultante também na forma de uma onda senoidal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões das duas ondas individualmente. Como as ondas estão se movendo em sentidos opostos, uma terá um termo positivo e a outra um termo negativo no argumento da função seno. Vamos considerar que ambas têm a mesma frequência angular ω e o mesmo número de onda k.
Então, temos:
y1(x, t) = ym1 sin(kx - omega t + phi1)
y2(x, t) = ym2 sin(-kx - omega t + phi2)
Aqui, $ y_{\mathrm{m}1} = 5,0 $ mm, $ y_{\mathrm{m}2} = 8,0 $ mm, $ \phi_1 = 45° $ e $ \phi_2 = 60° $.

Passo 3

Agora, vamos somar as duas ondas para encontrar a onda resultante $ y(x, t) $:
y(x, t)
Substituindo as expressões das ondas:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)

Passo 4

Para simplificar essa soma, vamos usar a identidade trigonométrica para a soma de duas funções seno:
A sin(theta) + B sin(phi) = C sin(theta + phi2) cos(theta - phi2) + D cos(theta + phi2) sin(theta - phi2)
Mas nesse caso, como as ondas têm a mesma frequência e direção oposta, podemos simplificar usando termos de seno e cosseno diretamente.

Passo 5

Vamos reescrever as ondas para facilitar a soma. Observando que $ \sin(-kx - \omega t + 60°) = \sin(- (kx + \omega t) + 60°) = \sin(kx + \omega t - 60°) $ (usando a propriedade $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, mas ajustando o ângulo para manter a positividade).
Então, temos:
sin(-kx - omega t + 60°) = sin(- (kx + omega t) + 60°) = sin(kx + omega t - 60°)

Passo 6

Vamos agora combinar esses termos. Para isso, consideramos que $ \omega t $ é comum e podemos reescrever a expressão agrupando os termos semelhantes:
omega t

Passo 7

Para somar essas duas ondas, vamos utilizar a fórmula da soma de senos com diferentes fases:
A sin(theta + phi1) + B sin(theta + phi2) = C sin(theta + phi)
onde $ C $ e $ \phi $ são a amplitude e a fase resultantes que podemos encontrar usando as relações:
C
phi

Passo 8

Aplicando os valores dados:
A = 5,0 mm, phi1 = 45°
B = 8,0 mm, phi2 = 60°
Calculamos as componentes:
Cx = A cos phi1 + B cos phi2 = 5,0 cos 45° + 8,0 cos 60°
Cy = A sin phi1 + B sin phi2 = 5,0 sin 45° + 8,0 sin 60°

Passo 9

Calculando os valores:
cos 45° = raiz22 approx 0,7071
sin 45° = raiz22 approx 0,7071
cos 60° = 0,5
sin 60° approx 0,8660
Então:
Cx = 5,0 times 0,7071 + 8,0 times 0,5 = 3,5355 + 4,0 = 7,5355 mm
Cy = 5,0 times 0,7071 + 8,0 times 0,8660 = 3,5355 + 6,928 = 10,4635 mm

Passo 10

Agora, para encontrar a amplitude resultante $ C $, usamos:
C
C = raizCx^2 + Cy^2
C = raiz(7,5355)^2 + (10,4635)^2
C = raiz56,82 + 109,35
C = raiz166,17

Passo 11

Para encontrar a fase $ \phi $, usamos:
phi
phi = arctan(CyCx) = arctan(10,46357,5355)
phi approx arctan(1,387)

Resposta

A onda resultante é uma onda senoidal com amplitude de aproximadamente 12,89 mm e fase de 54°, dada por:
y(x, t) = 12,89 sin(kx - omega t + 54°)

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