Uma corrente constante, I, atravessa um fio cilíndrico de raio a. Encontre o campo magnético, dentro e fora do fio se:
duas correntes percorrem o cilindro: uma densidade de corrente volumétrica, \vec{J}, uniforme atravessa o fio e outra densidade de corrente superficial, \vec{K}, circula a superfície do fio em toda sua extensão.

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de raio a pelo qual passam duas correntes simultâneas:
– uma densidade de corrente volumétrica uniforme \vec J = J\,\hat z para r<a,
– uma densidade de corrente superficial \vec K = K\,\hat\varphi na superfície r=a.
Queremos \vec B(r) para r<a e para r>a. Usaremos simetria cilíndrica, a Lei de Ampère e a condição de contorno para correntes de superfície.

Passo 2

Campo devido à densidade volumétrica \vec J:
Pela simetria, \vec B_J tem apenas componente \hat\varphi. Para um caminho circular de raio r:
\oint \vec B_J\cdot d\vec l = B_{J,\varphi}(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,I_{\rm enc} = \mu_{0}\,J\,\bigl(\pi r^{2}\bigr).
Logo, para r<a:
B_{J,\varphi}(r) = \frac{\mu_{0}J\,r}{2}.
Para r>a, a corrente total é I_{\rm tot}=J\,\pi a^{2}, daí
B_{J,\varphi}(r) = \frac{\mu_{0}J\,\pi a^{2}}{2\pi r} = \frac{\mu_{0}J\,a^{2}}{2\,r}.

Passo 3

Campo devido à densidade superficial \vec K:
Como \vec K circula em \hat\varphi ao redor do eixo, é equivalente a um solenoide infinito. Pelo contorno sobre um retângulo que atravessa a casca em r=a obtém-se salto em B_{z}:
\Delta B_{z} = \mu_{0}\,K.
Como fora não há outras correntes, para r<a temos
B_{K,z} = \mu_{0}\,K,
e para r>a
B_{K,z} = 0.

Passo 4

Superpondo os dois campos, obtemos:
Para r<a:
\vec B(r) = \underbrace{\frac{\mu_{0}J\,r}{2}\,\hat\varphi}_{\text{volumétrica}} + \underbrace{\mu_{0}K\,\hat z}_{\text{superficial}}.é
Para r>a:
\vec B(r) = \frac{\mu_{0}J\,a^{2}}{2\,r}\,\hat\varphi.

Resposta

Para r<a:
\boxed{\vec B(r) = \frac{\mu_{0}J\,r}{2}\,\hat\varphi \;+\;\mu_{0}K\,\hat z.}
Para r>a:
\boxed{\vec B(r) = \frac{\mu_{0}J\,a^{2}}{2\,r}\,\hat\varphi.}

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