1. Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5 s-8}{s^{2}+4 s}\right\}.
    A) 2+4 e^{4 t}
    B) 2+6 e^{4 t}
    C) -2+7 e^{-4 t}
    D) -2+5 e^{4 t}
    E) -2-5 e^{-4 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de \displaystyle \frac{5s-8}{s^{2}+4s}, usando propriedades de transformada de Laplace e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^{2}+4s = s(s+4).

Passo 3

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{5s-8}{s(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+4}.
Multiplicando por s(s+4) obtém-se
(A+B)s + 4A = 5s - 8.

Passo 4

Igualando coeficientes, vem
A + B = 5, \qquad 4A = -8,
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A = -2, \quad B = 7.

Passo 5

Substituindo de volta,
\frac{5s-8}{s(s+4)} = \frac{-2}{s} + \frac{7}{s+4}.
Aplicando a transformada inversa, sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+4)\}=e^{-4t}, temos
f(t) = -2 + 7e^{-4t}.

Resposta

(C)

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