(2.0 pontos) Resolva o PVI :
y^{\prime}(x)=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2 y-2}, \quad y(0)=1
CÁLCULO:
Resp:

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI com y'(x)=\frac{3x^2+4x+2}{2y-2} e condição inicial y(0)=1. Este é um EDO de primeira ordem separável: vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando por (2y-2)\,dx:
2(y-1)\,dy = (3x^2+4x+2)\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int 2(y-1)\,dy = \int(3x^2+4x+2)\,dx.
No lado esquerdo:
2\int(y-1)\,dy = 2\Bigl(\tfrac{y^2}{2}-y\Bigr) = y^2-2y.
No lado direito:
\int(3x^2+4x+2)\,dx = x^3+2x^2+2x + C.
Logo,
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C.

Passo 4

Use y(0)=1 para achar C:
\,1^2 - 2\cdot1 = -1 = 0 + C, logo C=-1. Assim
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x - 1.

Passo 5

Resolva a equação quadrática em y:
y^2 -2y - (x^3+2x^2+2x -1)=0.
Pela fórmula de Bhaskara:
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4(x^3+2x^2+2x -1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x}.

Resposta

y(x) = 1 \pm \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x},\quad x\ge 0.

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