Exercício 3. ( oo, 60 ponto cada item ) Seja a função
\begin{array}{ccl} f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} & \rightarrow & \mathbb{R} \\\ x & \mapsto & \frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}} \end{array}
Calcular uma estimativa para
\int_{0}^{2} f(x) d x
por meio de cada um dos seguintes métodos de integração numérica:
Na resolução deste exercício deve constar a indicação de todos os cálculos necessários; os cálculos aritméticos em si podem ser feitos com auxílio de um computador ou de uma calculadora.
T_{8};

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa para
\int_{0}^{2}f(x)\,dx
onde f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}}, usando a regra do trapézio composta com n=8 subintervalos (ou seja, T_{8}). Vamos usar a fórmula da regra do trapézio composta e calcular f nos nós.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,2] em n=8 partes de mesmo comprimento
h=\frac{2-0}{8}=0,25.
Os nós são
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,8,
ou seja
x_0=0,\;x_1=0,25,\;x_2=0,50,\;\dots,\;x_8=2,0.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=1/\sqrt{1+x_i^3} em cada nó:
f(x_0)=f(0)=1/\sqrt{1+0}=1,0000
f(x_1)=f(0,25)=1/\sqrt{1+0,25^3}=0,9923
f(x_2)=f(0,50)=0,9428
f(x_3)=f(0,75)=0,8387
f(x_4)=f(1,00)=0,7071
f(x_5)=f(1,25)=0,5818
f(x_6)=f(1,50)=0,4781
f(x_7)=f(1,75)=0,3966
f(x_8)=f(2,00)=0,3333
Somando os termos internos
\sum_{i=1}^{7}f(x_i) =0,9923+0,9428+0,8387+0,7071+0,5818+0,4781+0,3966 =4,9374.

Passo 4

A fórmula do trapézio composta é
T_{8} = h\Bigl(\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2} + \sum_{i=1}^{7}f(x_i)\Bigr).

Passo 5

Calculamos
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2} =\frac{1,0000+0,3333}{2}=0,6667,
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T_{8} =0,25\bigl(0,6667 + 4,9374\bigr) =0,25 \times 5,6041 =1,4010.

Resposta

A estimativa pelo trapézio composto com n=8 é
T_{8}\approx1,4010.

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