Seja a equação : \quad y^{\prime}-1-x^{2}+2 x y-y^{2}=0
a) (1.5 pontos) Uma solução particular y_{p}(x) dessa equação é:
( ) y_{p}(x)=x \quad(\quad) y_{p}(x)=\operatorname{sen}(x) \quad(\quad) y_{p}(x)=x^{2} CÁLCULO:
b) (2.0 pontos) Determine a sua solução geral. CÁLCULO:

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' \;-\;1\;-\;x^{2}\;+\;2x\,y\;-\;y^{2}=0
que pode ser reescrita como
y' = y^{2}-2x\,y + (1 + x^{2})\,.
Isso é uma equação de Riccati. Na parte (a) busca-se uma solução particular y_{p}(x) dentre três candidatos. Na parte (b) quer-se a solução geral, usando a transformação padrão de Riccati.

Passo 2

Testamos cada candidato:
Para y_{p}(x)=x temos y' = 1. Substituindo em
y' -1 -x^{2} +2x\,y -y^{2}
vem
1 -1 -x^{2} +2x\cdot x -x^{2} \;=\;-x^{2}+2x^{2}-x^{2}=0,
logo y_{p}(x)=x satisfaz a equação. Os outros candidatos não anulam a expressão e, portanto, não são soluções particulares.

Passo 3

Para obter a solução geral usamos a transformação
y = y_{p} + \frac{1}{u} \quad\Longrightarrow\quad y = x + \frac{1}{u}\,.
Isso converte a Riccati numa equação linear para u(x).

Passo 4

Calculamos
y' = 1 - \frac{u'}{u^{2}}
e por outro lado
y^{2}-2x\,y +1+x^{2} = \Bigl(x + \tfrac1u\Bigr)^{2} -2x\Bigl(x + \tfrac1u\Bigr)+1+x^{2} =1 + \frac{1}{u^{2}}.
Igualando y' a esse termo,
1 - \frac{u'}{u^{2}} =1 + \frac{1}{u^{2}} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{u'}{u^{2}} = \frac{1}{u^{2}} \quad\Longrightarrow\quad u' = -1.

Passo 5

Integramos u'=-1, obtendo
u(x) = -\,x + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto a solução geral é
y(x) = x + \frac{1}{u(x)} = x + \frac{1}{\,C - x\,}\,.

Resposta

a) y_{p}(x)=x.
b) y(x)=x + \dfrac{1}{C - x}, com C constante de integração.

Exercícios relacionados