Seja a equação :
a) (1.5 pontos) Uma solução particular
dessa equação é:
( )
CÁLCULO:
b) (2.0 pontos) Determine a sua solução geral. CÁLCULO:
a) (1.5 pontos) Uma solução particular
( )
b) (2.0 pontos) Determine a sua solução geral. CÁLCULO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que pode ser reescrita como
Isso é uma equação de Riccati. Na parte (a) busca-se uma solução particular
dentre três candidatos. Na parte (b) quer-se a solução geral, usando a transformação padrão de Riccati.
Passo 2
Testamos cada candidato:
Para temos
. Substituindo em
Para
vem
logo
satisfaz a equação. Os outros candidatos não anulam a expressão e, portanto, não são soluções particulares.
Passo 3
Para obter a solução geral usamos a transformação
Isso converte a Riccati numa equação linear para
.
Passo 4
Calculamos
e por outro lado
Igualando
a esse termo,
Passo 5
Integramos
, obtendo
onde
é constante arbitrária. Portanto a solução geral é
Resposta
a)
.
b) , com
constante de integração.
b)