A corrente elétrica em certo tipo de circuito segue uma distribuição com média \mu=8,5 \mathrm{~A} e variância 5,8 \mathrm{~A}^{2}. Suponha que se toma uma amostra de 36 circuitos.
(a) com base na questão anterior, explique em qual resultado se encaixa este problema.
(b) Qual a probabilidade de que a média amostral da corrente esteja entre 8 A e 9 A ?
(c) Qual é o valor mínimo da média amostral esperado entre os 5 \% maiores de corrente?

Passo 1

O enunciado nos dá uma população com média \mu = 8,5 A e variância \sigma^2 = 5,8 A ^2, e considera uma amostra de tamanho n=36. Queremos estudar a distribuição da média amostral \bar X. Para isso vamos usar o Teorema do Limite Central (ou, no caso de distribuição já normal, a distribuição exata da média), que nos garante que \bar X se comporta como uma normal de média \mu e variância \sigma^2/n.

Passo 2

Pelo Teorema do Limite Central (e também pelo fato de que estamos extraindo amostras grandes), vale aproximadamente
\bar X \sim N\!\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr)
onde
\sigma_{\bar X} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{\frac{5,8}{36}} \approx 0,4014\text{ A}.
Isso responde a parte (a): o problema se encaixa na distribuição amostral da média e no Teorema do Limite Central.

Passo 3

Para (b), calculamos
P\bigl(8 \le \bar X \le 9\bigr) = P\!\Bigl(\frac{8-8,5}{0,4014} \le Z \le \frac{9-8,5}{0,4014}\Bigr) = P(-1,246 \le Z \le 1,246).
Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(1,246)\approx 0,893. Logo
P(-1,246 \le Z \le 1,246) = 2\Phi(1,246)-1 \approx 2\cdot0,893 -1 \approx 0,786.

Passo 4

Para (c), o menor valor de \bar X que está nos 5\% maiores é o percentil de 95\%. Chamando z_{0,95}=1,645, temos
x_{0,95} = \mu + z_{0,95}\,\sigma_{\bar X} = 8,5 + 1,645\cdot0,4014 \approx 9,16\text{ A}.

Resposta

(a) É caso de aplicação da distribuição amostral da média e do Teorema do Limite Central, ou seja, \bar X\sim N(8,5,\,5,8/36).
(b) P(8\le\bar X\le9)\approx0,786.
(c) O valor mínimo entre os 5 % maiores é aproximadamente 9,16 A.

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