Descreva os dois principais resultados referente à distribuição de probabilidade da média amostral.

Passo 1

Temos uma amostra aleatória simples X_1,\dots,X_n de uma população com média \mu e variância finita \sigma^2. Definimos a média amostral por
\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
Vamos descrever os dois resultados fundamentais sobre a distribuição de probabilidade de \bar X.

Passo 2

Resultado 1: expectativa e variância de \bar X.
Pela linearidade da esperança e independência entre as X_i, tem-se
E[\bar X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E[X_i] = \frac{n\mu}{n} = \mu,
e pela soma de variâncias de variáveis independentes,
\Var(\bar X) = \Var\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \Var(X_i) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.

Passo 3

Resultado 2: forma da distribuição de \bar X.
  1. Se cada X_i vem de uma distribuição normal N(\mu,\sigma^2), então
\bar X \sim N\!\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr)
exatamente, para qualquer n.
2. Para X_i de qualquer distribuição com média \mu e variância \sigma^2, o Teorema Central do Limite garante que, à medida que n cresce, a distribuição de \bar X se aproxima de uma normal
\bar X \;\overset{d}{\longrightarrow}\; N\!\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr)
mesmo quando a população original não é normal.

Resposta

  1. E[\bar X]=\mu e \Var(\bar X)=\sigma^2/n.
  2. \bar X é exatamente normal N(\mu,\sigma^2/n) se a população for normal; para população genérica, vale a aproximação normal pela CLT quando n é grande.

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