Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
, e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
delimitada por:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A região é limitada superiormente pela reta
. - A região é limitada à direita pela reta vertical
. - A região é limitada inferiormente pela reta
.
O que devemos encontrar: o volume do sólido de revolução gerado pela rotação deem torno do eixo .
Passo 2
Primeiro preciso determinar o intervalo em
onde a região existe, ou seja, as interseções das curvas limites. Encontro onde
cruza
:
Logo a região
está entre
(onde
encontra
) e
(fornecido). Então o intervalo em
é
.
Passo 3
Agora vou pensar na rotação em torno do eixo
. Quando giramos uma região plana em torno do eixo
, uma maneira direta de calcular o volume é usar cortes perpendiculares ao eixo
: cada corte em um
fixa gera um disco (ou anel) cuja área é determinada pelas distâncias da curva superior e inferior ao eixo
.
Definições e fórmula que vou usar (explicando cada termo):
- Chamo de
o raio externo do anel em uma seção perpendicular ao eixo . É a distância da curva superior até o eixo . - Chamo de
o raio interno do anel (se houver buraco); é a distância da curva inferior até o eixo . - A fórmula do volume por discos/anéis é:
onde
é o intervalo em
da região. Aqui
é a área do círculo de raio
, e subtraímos o buraco interno se existir.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
- A curva superior é
, portanto a distância até o eixo (raio externo) é . - A curva inferior é
, distância até o eixo é .
Como o raio interno é zero, o anel vira um disco. O volume fica
ou simplesmente
Passo 5
Calculo a integral. Primeiro expando o integrando para tornar a antiderivada óbvia:
Logo
A antiderivada termo a termo é:
onde
é constante de integração (não usada em integral definida).
Passo 6
Avalio a primitiva nos extremos
e
:
Calculo em :
Calculo em
Calculo em
:
Subtraio valor em
do valor em
:
Passo 7
Multiplico pelo fator
que estava fora da integral:
Interpretação rápida: o volume numérico é
unidades cúbicas.