Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y=x+1, \quad x=2, e y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R delimitada por:
y=x+1,\qquad x=2,\qquad y=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  1. A região é limitada superiormente pela reta y=x+1.
  2. A região é limitada à direita pela reta vertical x=2.
  3. A região é limitada inferiormente pela reta y=0.
    O que devemos encontrar: o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 2

Primeiro preciso determinar o intervalo em x onde a região existe, ou seja, as interseções das curvas limites. Encontro onde y=x+1 cruza y=0:
x+1=0
x=-1.
Logo a região R está entre x=-1 (onde y=0 encontra y=x+1) e x=2 (fornecido). Então o intervalo em x é [-1,2].

Passo 3

Agora vou pensar na rotação em torno do eixo x. Quando giramos uma região plana em torno do eixo x, uma maneira direta de calcular o volume é usar cortes perpendiculares ao eixo x: cada corte em um x fixa gera um disco (ou anel) cuja área é determinada pelas distâncias da curva superior e inferior ao eixo x.
Definições e fórmula que vou usar (explicando cada termo):
  • Chamo de R_{\text{ext}}(x) o raio externo do anel em uma seção perpendicular ao eixo x. É a distância da curva superior até o eixo x.
  • Chamo de R_{\text{int}}(x) o raio interno do anel (se houver buraco); é a distância da curva inferior até o eixo x.
  • A fórmula do volume por discos/anéis é:
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R_{\text{ext}}(x)^2-R_{\text{int}}(x)^2\bigr)\,dx,
onde [a,b] é o intervalo em x da região. Aqui \pi R^2 é a área do círculo de raio R, e subtraímos o buraco interno se existir.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso:
  • A curva superior é y=x+1, portanto a distância até o eixo x (raio externo) é R_{\text{ext}}(x)=x+1.
  • A curva inferior é y=0, distância até o eixo x é R_{\text{int}}(x)=0.
    Como o raio interno é zero, o anel vira um disco. O volume fica
V=\pi\int_{-1}^{2} \bigl((x+1)^2 - 0^2\bigr)\,dx
ou simplesmente
V=\pi\int_{-1}^{2} (x+1)^2\,dx.

Passo 5

Calculo a integral. Primeiro expando o integrando para tornar a antiderivada óbvia:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.
Logo
V=\pi\int_{-1}^{2} (x^2+2x+1)\,dx.
A antiderivada termo a termo é:
\int (x^2+2x+1)\,dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C,
onde C é constante de integração (não usada em integral definida).

Passo 6

Avalio a primitiva nos extremos x=2 e x=-1:
Calculo em x=2:
\frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 = \frac{8}{3} + 4 + 2 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8+18}{3} = \frac{26}{3}.
Calculo em x=-1:
\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + (-1) = -\frac{1}{3} + 1 -1 = -\frac{1}{3}.
Subtraio valor em -1 do valor em 2:
\frac{26}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{26}{3} + \frac{1}{3} = \frac{27}{3} = 9.

Passo 7

Multiplico pelo fator \pi que estava fora da integral:
V = \pi \cdot 9 = 9\pi.
Interpretação rápida: o volume numérico é 9\pi unidades cúbicas.

Resposta

9\pi

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