Uma corrente I se distribui uniformemente ao longo da sessão reta de um fio longo cilíndrico de raio R. Utilizando a lei de Ampère, encontre os dois valores da distância ao eixo do fio para os quais a intensidade do campo magnético é igual a um quarto do seu valor na superfície do fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre a distribuição de corrente elétrica em um fio cilíndrico longo e pede para encontrar duas distâncias do eixo do fio onde o campo magnético é um quarto do valor na superfície do fio. Vamos usar a Lei de Ampère para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele. A fórmula geral é:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, B é o campo magnético, mu0 é a permeabilidade do vácuo, e Ienc é a corrente encerrada pelo caminho de integração.

Passo 3

Como o fio é cilíndrico e longo, o campo magnético vai depender da distância r ao longo do radial do fio. Vamos considerar dois casos:
  1. Dentro do fio ( r < R)
  2. Fora do fio ( r > R)

Passo 4

Dentro do fio ( r < R):
A corrente é distribuída uniformemente, então a corrente encerrada pelo caminho de Ampère é proporcional à área:
Ienc = I (pi r^2pi R^2) = I (r^2R^2)
Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 I (r^2R^2)
Resolvendo para B:
B(r) = mu0 I r2pi R^2

Passo 5

Fora do fio ( r > R):
Toda a corrente I está dentro do caminho de Ampère:
Ienc = I
Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 I
Resolvendo para B:
B(r) = mu0 I2pi r

Passo 6

Vamos encontrar o campo magnético na superfície do fio ( r = R) usando a equação de fora:
B(R) = mu0 I2pi R
Queremos que B(r) = 14 B(R):
B(r) = 14 cdot mu0 I2pi R

Passo 7

Vamos resolver para os dois casos:
  1. Dentro do fio ( r < R):
mu0 I r2pi R^2 = 14 cdot mu0 I2pi R
Simplificando:
rR^2 = 14R
r = R4
  1. Fora do fio ( r > R):
mu0 I2pi r = 14 cdot mu0 I2pi R
Simplificando:
1r = 14R
r = 4R

Resposta

As duas distâncias ao eixo do fio onde o campo magnético é igual a um quarto do valor na superfície são $ r = \frac{R}{4} $ e $ r = 4R $.

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