Uma corrente
se distribui uniformemente ao longo da sessão reta de um fio longo cilíndrico de raio
. Utilizando a lei de Ampère, encontre os dois valores da distância ao eixo do fio para os quais a intensidade do campo magnético é igual a um quarto do seu valor na superfície do fio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre a distribuição de corrente elétrica em um fio cilíndrico longo e pede para encontrar duas distâncias do eixo do fio onde o campo magnético é um quarto do valor na superfície do fio. Vamos usar a Lei de Ampère para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele. A fórmula geral é:
Aqui,
é o campo magnético,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Passo 3
Como o fio é cilíndrico e longo, o campo magnético vai depender da distância
ao longo do radial do fio. Vamos considerar dois casos:
- Dentro do fio (
) - Fora do fio (
)
Passo 4
Dentro do fio (
):
A corrente é distribuída uniformemente, então a corrente encerrada pelo caminho de Ampère é proporcional à área:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para
:
Passo 5
Fora do fio (
):
Toda a corrente
está dentro do caminho de Ampère:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos encontrar o campo magnético na superfície do fio (
) usando a equação de fora:
Queremos que
:
Passo 7
Vamos resolver para os dois casos:
- Dentro do fio (
):
Simplificando:
- Fora do fio (
):
Simplificando:
Resposta
As duas distâncias ao eixo do fio onde o campo magnético é igual a um quarto do valor na superfície são $ r = \frac{R}{4} $ e $ r = 4R $.