Uma corrente I passa por uma espira quadrada rígida de lado
e massa
em repouso no plano
sobre uma mesa plana e rugosa. Existe um campo magnético horizontal de módulo
que atua paralelamente a dois lados desta espira. Qual é o valor mínimo de
para que uma das extremidades da espira se eleve da mesa?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede o valor mínimo do campo magnético
para que uma das extremidades (uma das bordas) da espira quadrada se eleve da mesa. As informações dadas são:
- Espira quadrada rígida de lado
. - Massa da espira
. - Corrente elétrica que percorre a espira:
. - A espira está inicialmente em repouso, apoiada no plano
(deitada sobre a mesa). - Existe um campo magnético horizontal de módulo
que atua paralelo a dois lados da espira (isto é, paralelo aos lados que estão na direção , por exemplo). - Gravidade atua com aceleração
.
O resultado a ser obtido é a expressão mínima deque provoca o levantamento de uma extremidade da espira.
Passo 2
Conceito-chave: força magnética sobre um fio retilíneo com corrente.
- Para um segmento retilíneo de fio que transporta corrente
e tem vetor comprimento (vetor na mesma direção da corrente, módulo igual ao comprimento do segmento), a força magnética sobre esse segmento é
- O módulo dessa força é
onde
é o ângulo entre
e
.
- Interpretação prática e regra da mão direita: se
é perpendicular a ( ), então e a direção de é perpendicular tanto a quanto a (para cima ou para baixo, no nosso caso, indicado pela regra da mão direita).
Passo 3
Aplicando isso à espira quadrada:
- Dois lados da espira são paralelos a
. Nesses lados temos , logo
Ou seja, estes dois lados não sofrem força magnética.
- Os outros dois lados (os que são perpendiculares a
) têm e, para cada um deles, o módulo da força é
- Direção das forças: escolhendo coordenadas práticas, suponha que a espira ocupa
, . Nas duas arestas com e a corrente percorre em sentidos opostos; usando com ao longo de , encontra-se que a força na aresta é para baixo e a força na aresta é para cima. Os módulos são iguais: .
Passo 4
Condição de levantamento (momento mínimo):
- Para que a extremidade direita (aresta em
) se eleve, a tendência de rotação causada pela força magnética para essa aresta deve vencer o momento gravitacional que mantém a espira apoiada. - Tome como pivô a aresta esquerda (em
), que permanece em contato com a mesa quando a outra extremidade começa a levantar. O torque (momento) produzido pela força magnética na aresta direita em relação a esse pivô é
pois o braço é a distância entre a aresta direita e o pivô, que vale
.
- O peso total
age no centro de massa da espira. Para um quadrado homogêneo o centro está no centro da figura, a uma distância do pivô; o torque gravitacional que tende a manter a espira fechada é
Passo 5
Equilíbrio limite e solução para
:
- No instante mínimo em que a borda direita começa a levantar, os torques se equilibram:
Substituindo os valores:
- Isolando
:
Passo 6
Comentário final e intuição: a força magnética que age para cima na aresta oposta cria um braço longo
que gera torque; a outra força magnética (para baixo) age no pivô e não produz torque em relação ao pivô. Por isso basta comparar o torque da força magnética ascendente com o torque do peso, levando ao resultado acima. Você pode usar esse raciocínio em provas: identifique quais lados sofrem força magnética, calcule seu módulo e aplique equilíbrio de torques em torno do ponto de contato que permanece como pivô no momento do levantamento.