Uma corrente I passa por uma espira quadrada rígida de lado L e massa m em repouso no plano x y sobre uma mesa plana e rugosa. Existe um campo magnético horizontal de módulo B que atua paralelamente a dois lados desta espira. Qual é o valor mínimo de B para que uma das extremidades da espira se eleve da mesa?
Resposta:
B=\frac{m g}{2 I L}

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo do campo magnético B para que uma das extremidades (uma das bordas) da espira quadrada se eleve da mesa. As informações dadas são:
  • Espira quadrada rígida de lado L.
  • Massa da espira m.
  • Corrente elétrica que percorre a espira: I.
  • A espira está inicialmente em repouso, apoiada no plano xy (deitada sobre a mesa).
  • Existe um campo magnético horizontal de módulo B que atua paralelo a dois lados da espira (isto é, paralelo aos lados que estão na direção x, por exemplo).
  • Gravidade atua com aceleração g.
    O resultado a ser obtido é a expressão mínima de B que provoca o levantamento de uma extremidade da espira.

Passo 2

Conceito-chave: força magnética sobre um fio retilíneo com corrente.
  • Para um segmento retilíneo de fio que transporta corrente I e tem vetor comprimento \vec{\ell} (vetor na mesma direção da corrente, módulo igual ao comprimento do segmento), a força magnética sobre esse segmento é
\vec{F} = I\,\vec{\ell}\times\vec{B}.
  • O módulo dessa força é
F = I\,\ell\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{\ell} e \vec{B}.
  • Interpretação prática e regra da mão direita: se \vec{\ell} é perpendicular a \vec{B} ( \theta=90^\circ), então F=I\ell B e a direção de \vec{F} é perpendicular tanto a \vec{\ell} quanto a \vec{B} (para cima ou para baixo, no nosso caso, indicado pela regra da mão direita).

Passo 3

Aplicando isso à espira quadrada:
  • Dois lados da espira são paralelos a \vec{B}. Nesses lados temos \theta=0^\circ, logo
F=I\ell B\sin 0^\circ =0.
Ou seja, estes dois lados não sofrem força magnética.
  • Os outros dois lados (os que são perpendiculares a \vec{B}) têm \theta=90^\circ e, para cada um deles, o módulo da força é
F = I L B.
  • Direção das forças: escolhendo coordenadas práticas, suponha que a espira ocupa 0\le x\le L, 0\le y\le L. Nas duas arestas com x=0 e x=L a corrente percorre em sentidos opostos; usando \vec{F}=I\vec{\ell}\times\vec{B} com \vec{B} ao longo de +\hat{x}, encontra-se que a força na aresta x=0 é para baixo e a força na aresta x=L é para cima. Os módulos são iguais: F=I L B.

Passo 4

Condição de levantamento (momento mínimo):
  • Para que a extremidade direita (aresta em x=L) se eleve, a tendência de rotação causada pela força magnética para essa aresta deve vencer o momento gravitacional que mantém a espira apoiada.
  • Tome como pivô a aresta esquerda (em x=0), que permanece em contato com a mesa quando a outra extremidade começa a levantar. O torque (momento) produzido pela força magnética na aresta direita em relação a esse pivô é
\tau_{\text{mag}} = F \times (\text{braço}) = (I L B)\cdot L = I L^2 B,ç
pois o braço é a distância entre a aresta direita e o pivô, que vale L.
  • O peso total mg age no centro de massa da espira. Para um quadrado homogêneo o centro está no centro da figura, a uma distância L/2 do pivô; o torque gravitacional que tende a manter a espira fechada é
\tau_{\text{grav}} = mg \cdot \frac{L}{2}.

Passo 5

Equilíbrio limite e solução para B:
  • No instante mínimo em que a borda direita começa a levantar, os torques se equilibram:
\tau_{\text{mag}} = \tau_{\text{grav}}.
Substituindo os valores:
I L^2 B = mg\cdot\frac{L}{2}.
  • Isolando B:
B = \frac{mg\cdot\frac{L}{2}}{I L^2} = \frac{mg}{2 I L}.

Passo 6

Comentário final e intuição: a força magnética que age para cima na aresta oposta cria um braço longo L que gera torque; a outra força magnética (para baixo) age no pivô e não produz torque em relação ao pivô. Por isso basta comparar o torque da força magnética ascendente com o torque do peso, levando ao resultado acima. Você pode usar esse raciocínio em provas: identifique quais lados sofrem força magnética, calcule seu módulo e aplique equilíbrio de torques em torno do ponto de contato que permanece como pivô no momento do levantamento.

Resposta

B=\dfrac{m g}{2 I L}

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