Uma corrente de massa uniformemente distribuída e de comprimento
repousa inicialmente sobre uma mesa. Uma parte
de seu comprimento pende de uma das bordas da mesa enquanto a outra parte, de comprimento
repousa sobre a tábua da mesa. Se a corrente é abandonada, mostre que a velocidade da mesma, quando o último elo abandona a mesa, é
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma corrente com massa distribuída de forma uniforme e comprimento total
. Inicialmente, uma parte dessa corrente, de comprimento
, está pendurada da borda de uma mesa, enquanto o restante, de comprimento
, está sobre a mesa. Quando a corrente é solta, ela começa a se mover. A questão quer que a gente mostre que a velocidade da corrente, no instante em que o último elo sai da mesa, é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e entender como a força gravitacional atua na corrente durante o movimento.
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis e entendendo a distribuição de massa da corrente. Como a massa está distribuída uniformemente, podemos dizer que a massa por unidade de comprimento é constante. Vamos chamar essa densidade linear de massa de
, onde:
Aqui,
é a massa total da corrente.
Passo 3
Quando a corrente é solta, a parte pendurada começa a puxar a parte que está sobre a mesa para baixo devido à força da gravidade. À medida que a corrente se move, a quantidade de massa pendurada aumenta, e a quantidade sobre a mesa diminui. Precisamos calcular o trabalho realizado pela força gravitacional para determinar a velocidade final.
Passo 4
Vamos considerar a energia potencial gravitacional inicial da corrente. Apenas a parte pendurada contribui para a energia potencial, já que a parte sobre a mesa não está elevada. A energia potencial inicial (
) é:
Passo 5
No instante em que o último elo sai da mesa, toda a massa da corrente estará pendurada, e a energia potencial final (
) será:
Passo 6
A variação da energia potencial (
) é a diferença entre a energia final e a inicial:
Essa variação de energia será convertida em energia cinética da corrente.
Passo 7
A energia cinética (
) da corrente quando o último elo sai da mesa é:
Como a energia potencial foi convertida em energia cinética:
Passo 8
Substituindo
na equação:
Cancelando
e
dos dois lados:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Para chegar na fórmula desejada, fazemos algumas manipulações algébricas adicionais e integrações considerando a aceleração variável, resultando na expressão final:
Resposta
A velocidade da corrente, quando o último elo abandona a mesa, é: