Um próton de massa
com velocidade inicial
colide com um átomo de hélio, massa
, inicialmente em repouso. Se o próton deixa o ponto de impacto segundo um ângulo de
em relação à direção original de seu movimento, encontre as velocidades finais de cada uma das partículas. Considere a colisão inelástica em que
da energia cinética inicial do próton.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando nesse problema. Temos um próton com massa $ m_p $ e velocidade inicial $ \overrightarrow{v} $ que bate em um átomo de hélio com massa $ 4m_p $, que estava parado. Depois da colisão, o próton sai fazendo um ângulo de $ 45^{\circ} $ em relação à direção original. A colisão é inelástica, e uma parte da energia cinética inicial do próton é dissipada, especificamente $ Q = \frac{1}{4} $ dessa energia. Nosso objetivo é encontrar as velocidades finais do próton e do átomo de hélio após a colisão. Para resolver isso, vamos precisar das leis de conservação de momento e da energia cinética em colisões inelásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação do momento linear. Como estamos lidando com uma colisão, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois da colisão.
Vamos considerar que a direção inicial do próton é o eixo x. O átomo de hélio está inicialmente em repouso, então seu momento inicial é zero. Após a colisão, o próton tem um componente de momento na direção x e outro na direção y devido ao ângulo de $ 45^{\circ} $. O átomo de hélio também vai ganhar um momento que precisamos considerar.
Então, temos duas equações de conservação de momento:
Aqui, $ v_p $ é a velocidade final do próton e $ v_{He} $ é a velocidade final do átomo de hélio, com $ \theta $ sendo o ângulo que o átomo de hélio faz com a direção original.
Passo 3
Agora, vamos considerar a conservação da energia cinética. Como a colisão é inelástica, nem toda a energia cinética inicial é conservada. Uma parte dela é dissipada na colisão, representada por $ Q $.
A energia cinética inicial do sistema é apenas do próton:
A energia cinética final do sistema é a soma das energias cinéticas do próton e do átomo de hélio:
Sabemos que $ Q = \frac{1}{4} E_i $, então:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos esboçar as equações que temos:
- Da conservação em x:
Podemos dividir toda a equação por $ m_p $:
- Da conservação em y:
Dividindo por $ m_p $:
- Da conservação da energia:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas: $ v_p $, $ v_{He} $ e $ \theta $.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começaremos pela equação da conservação em y para encontrar uma relação entre $ v_p $ e $ v_{He} $.
Da equação da conservação em y:
Sabemos que $ \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Isolando $ \sin(\theta) $:
Isso nos dá uma relação entre $ v_p $ e $ v_{He} $.
Passo 6
Agora, vamos voltar à equação da conservação em x:
Sabemos que $ \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Vamos tentar expressar $ \cos(\theta) $ em termos de $ v_p $ e $ v_{He} $. Usando a relação trigonométrica $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $, podemos usar a expressão para $ \sin(\theta) $ que encontramos:
Substituindo de volta na equação de x:
Essa expressão é um pouco complicada, então vamos buscar uma simplificação. Vamos utilizar a conservação da energia para eliminar uma das incógnitas.
Da conservação da energia:
Podemos isolar $ v_p $ em termos de $ v_{He} $:
Passo 7
Agora, substituímos $ v_p $ na equação da conservação em x:
Isso ainda é complexo, então para resolver, podemos assumir que $ v $ seja uma unidade de referência ou expressar as velocidades em termos de $ v $. Após simplificações e resoluções algébricas (que envolvem manipulações cuidadosas de equações quadráticas), eventualmente encontramos:
Resposta
As velocidades finais após a colisão são: