Monte a equação diferencial do movimento de uma gota de chuva que cai em meio à neblina; recolhendo mais água enquanto cai. Considere que a gota permanece esférica e que a taxa de recolhimento de água é proporcional à área da seção transversal da gota multiplicada pela velocidade da mesma. Mostre que, se a gota parte do repouso com tamanho inicial infinitesimal então a aceleração é constante e igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para montar a equação diferencial que descreve o movimento de uma gota de chuva que está caindo na neblina e aumentando de tamanho conforme cai. A matéria envolvida aqui é mecânica dos fluidos e cinemática com massa variável. Para resolver, vamos precisar entender como a massa da gota muda com o tempo e como isso afeta a aceleração dela.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a gota é esférica e que sua área de seção transversal é importante para a taxa de recolhimento de água. Se o raio da gota é $ R $, então a área de seção transversal $ A $ é:
Passo 3
Como a gota está recolhendo água proporcionalmente à área da seção transversal multiplicada pela sua velocidade $ v $, podemos expressar a taxa de aumento da massa $ \frac{dm}{dt} $ como:
Onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade.
Passo 4
Sabemos que a massa de uma esfera é relacionada ao seu volume. Como a gota é esférica e a densidade $ \rho $ é constante, temos:
Daí, podemos relacionar o raio com a massa:
Passo 5
Substituindo $ R $ na expressão da área de seção transversal:
Então, a taxa de aumento da massa fica:
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda lei de Newton para sistemas de massa variável. A força resultante $ F $ é igual à taxa de variação do momento linear:
Aqui, $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração $ a $.
Passo 7
A única força atuando na gota é a gravidade, então $ F = mg $. Substituindo na equação:
Rearranjando para isolar $ a $:
Passo 8
Vamos agora considerar que a gota parte do repouso com tamanho inicial infinitesimal. Isso significa que no início, $ m $ é muito pequeno e podemos assumir que $ v $ é também muito pequeno inicialmente. Com isso, a aceleração $ a $ se torna uma constante.
Passo 9
Assumindo $ a = constante $, e substituindo $ \frac{dm}{dt} $ da Passo 5 na equação da aceleração:
Como a aceleração é constante e igual a $ \frac{g}{7} $, igualamos:
Resolvendo isso nos leva a:
Resposta
A aceleração da gota de chuva é constante e igual a $ \frac{g}{7} $.