Uma corrente i(t)=(5 A / s^2) t^2 percorre um solenóide extenso que possui 120 espiras por cm e raio R=5 cm. Uma espira circular de raio r=2 cm está no interior do solenóide e seu eixo coincide com o eixo do solenóide. (a) Ache a fem induzida na espira no tempo t=10 s. (b) Colocando essa espira no plano da página e a corrente no solenóide estando no sentido horário, qual será o sentido da corrente induzida na espira? Obs: mu0=4 pi times 10^-7 Tm / A ( 2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma corrente que varia no tempo, dada por , passando por um solenóide com 120 espiras por cm e raio . Dentro desse solenóide, há uma espira circular de raio que está alinhada com o eixo do solenóide. Precisamos:
a) Calcular a fem induzida na espira no tempo .
b) Determinar o sentido da corrente induzida na espira quando a espira está no plano da página e a corrente no solenóide está no sentido horário.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Lenz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o fluxo magnético através da espira. O fluxo magnético ( Phi = B cdot A ) é dado por:
Onde:
  • é o campo magnético no interior do solenóide.
  • é a área da espira.

Passo 3

Para um solenóide, o campo magnético B = mu0 cdot n cdot i(t) é calculado pela fórmula:
n = 120 , espiras/cm times 100 , cm/m = 12000 , espiras/m
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é o número de espiras por unidade de comprimento.
  • é a corrente no solenóide em função do tempo.
Primeiro, convertemos 120 espiras por cm para espiras por metro:

Passo 4

Substituindo na fórmula do campo magnético:
B = mu0 cdot n cdot i(t) = 4pi times 10^-7 cdot 12000 cdot (5 t^2)
Simplificando:
B = 4pi times 10^-7 cdot 12000 cdot 5 t^2 = 4pi times 10^-7 cdot 60000 t^2
B = 4pi times 10^-7 cdot 6 times 10^4 t^2 = 4pi times 6 times 10^-3 t^2 = 24pi times 10^-3 t^2 , T
B = 0,024pi t^2 , T

Passo 5

Agora, calculamos a área da espira ( A = pi r^2 = pi (0,02 , m)^2 = pi times 4 times 10^-4 , m^2 = 4pi times 10^-4 , m^2 ):

Passo 6

O fluxo magnético ( Phi = B cdot A = 0,024pi t^2 cdot 4pi times 10^-4 = 0,024 times 4 times pi^2 times 10^-4 t^2 ) é então:
Phi = 0,096pi^2 times 10^-4 t^2 , Wb

Passo 7

Para encontrar a fem induzida ( E = -dPhidt ), usamos a Lei de Faraday:
dPhidt = 0,096pi^2 times 10^-4 cdot 2t = 0,192pi^2 times 10^-4 t
Calculando a derivada:
E = -0,192pi^2 times 10^-4 t , V
Então:

Passo 8

Substituímos E = -0,192pi^2 times 10^-4 times 10 = -0,192pi^2 times 10^-3 , V :
E approx -0,192 times 9,8696 times 10^-3 , V approx -0,001896 , V approx -1,896 , mV

Passo 9

Para a parte (b), usamos a Lei de Lenz, que nos diz que a corrente induzida sempre se opõe à variação que a está produzindo.
Como a corrente no solenóide está aumentando no sentido horário, o campo magnético através da espira também está aumentando no sentido horário. Para se opor a esse aumento, a corrente induzida na espira deve gerar um campo magnético no sentido anti-horário.

Passo 10

Portanto, a corrente induzida na espira terá o sentido anti-horário.

Resposta

A corrente induzida na espira terá o sentido anti-horário.

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