(a) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o vetor campo magnético em um ponto
arbitrário, definido por sua distância
ao eixo do fio e os ângulos
e
na figura, que definem sua orientação com relação às extremidades do fio. Sugestão: Para simplificar os cálculos, utilize o ângulo entre o segmento que une um elemento de comprimento infinitesimal do fio ao ponto
e o eixo do fio como variável de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Biot-Savart para encontrar o vetor campo magnético num ponto qualquer
. Esse ponto está a uma distância
do eixo do fio, e tem uns ângulos
e
que indicam como ele está posicionado em relação às extremidades do fio. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Biot-Savart e como aplicá-la a um fio reto e finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos dá o campo magnético
gerado por um elemento infinitesimal de corrente
em um ponto no espaço. A fórmula é:
Aqui,
é a permeabilidade magnética do vácuo,
é a corrente,
é o elemento de comprimento do fio, e
é o vetor que vai do elemento
até o ponto
.
Passo 3
Vamos visualizar o cenário: temos um fio retilíneo e finito, com uma corrente passando por ele. O ponto
está a uma distância
do eixo do fio. Os ângulos
e
são os ângulos que as linhas que conectam
às extremidades do fio fazem com o eixo do fio. Nossa tarefa é integrar a contribuição de todos os elementos
ao longo do fio para encontrar o campo magnético total em
.
Passo 4
Como o campo magnético é gerado por cada elemento de corrente, precisamos somar (integrar) todas as contribuições
. Devido à simetria, o campo resultante estará perpendicular ao plano formado pelo fio e pelo ponto
. Isso simplifica nosso trabalho, já que podemos focar apenas na componente magnética perpendicular.
Passo 5
Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o fio está alinhado no eixo
, e o ponto
está no eixo
, a uma distância
do fio. Um elemento
no fio fica em uma posição
, e o vetor
vai de
até
. O ângulo entre
e
será nosso
, que varia de
a
.
Passo 6
A magnitude do vetor campo magnético gerado por
é dada por:
Aqui,
é o seno do ângulo entre
e
, que contribui para a componente perpendicular do campo.
Passo 7
Para integrar ao longo do fio, precisamos expressar
em termos de
. Usando a geometria do triângulo formado, temos:
Dessa forma, expressamos
em termos de
e substituímos na integral.
Passo 8
A integral para o campo magnético total
será:
Essa é a expressão final obtida após integrar todas as contribuições dos elementos de corrente ao longo do fio.
Resposta
O campo magnético no ponto
é dado por: