(a) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o vetor campo magnético em um ponto P arbitrário, definido por sua distância d ao eixo do fio e os ângulos theta1 e theta2 na figura, que definem sua orientação com relação às extremidades do fio. Sugestão: Para simplificar os cálculos, utilize o ângulo entre o segmento que une um elemento de comprimento infinitesimal do fio ao ponto P e o eixo do fio como variável de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Biot-Savart para encontrar o vetor campo magnético num ponto qualquer P. Esse ponto está a uma distância d do eixo do fio, e tem uns ângulos theta1 e theta2 que indicam como ele está posicionado em relação às extremidades do fio. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Biot-Savart e como aplicá-la a um fio reto e finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos dá o campo magnético B gerado por um elemento infinitesimal de corrente I , dl em um ponto no espaço. A fórmula é:
dB = mu04pi I , dl times r|r|^3
Aqui, mu0 é a permeabilidade magnética do vácuo, I é a corrente, dl é o elemento de comprimento do fio, e r é o vetor que vai do elemento dl até o ponto P.

Passo 3

Vamos visualizar o cenário: temos um fio retilíneo e finito, com uma corrente passando por ele. O ponto P está a uma distância d do eixo do fio. Os ângulos theta1 e theta2 são os ângulos que as linhas que conectam P às extremidades do fio fazem com o eixo do fio. Nossa tarefa é integrar a contribuição de todos os elementos dl ao longo do fio para encontrar o campo magnético total em P.

Passo 4

Como o campo magnético é gerado por cada elemento de corrente, precisamos somar (integrar) todas as contribuições dB. Devido à simetria, o campo resultante estará perpendicular ao plano formado pelo fio e pelo ponto P. Isso simplifica nosso trabalho, já que podemos focar apenas na componente magnética perpendicular.

Passo 5

Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o fio está alinhado no eixo x, e o ponto P está no eixo y, a uma distância d do fio. Um elemento dl no fio fica em uma posição x, e o vetor r vai de x até P. O ângulo entre dl e r será nosso theta, que varia de theta1 a theta2.

Passo 6

A magnitude do vetor campo magnético gerado por dl é dada por:
dB = mu04pi I , dell , sinthetad^2 + x^2
Aqui, sintheta é o seno do ângulo entre dl e r, que contribui para a componente perpendicular do campo.

Passo 7

Para integrar ao longo do fio, precisamos expressar dell em termos de dtheta. Usando a geometria do triângulo formado, temos:
sintheta = draizd^2 + x^2
Dessa forma, expressamos dell em termos de dtheta e substituímos na integral.

Passo 8

A integral para o campo magnético total B será:
B = mu0 I4pi d (sintheta2 - sintheta1)
Essa é a expressão final obtida após integrar todas as contribuições dos elementos de corrente ao longo do fio.

Resposta

O campo magnético no ponto P é dado por:
B = mu0 I4pi d ( sintheta2 - sintheta1 )

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