(a) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o vetor campo magnético produzido pelo fio na origem do sistema de coordenadas (ponto O ). Sugestão: Calcule o campo de cada trecho do fio separadamente e utilize o princípio da superposição.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos determinar o vetor campo magnético no ponto O, que está na origem do sistema de coordenadas, produzido por um fio. Para isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart. A matéria envolvida aqui é o eletromagnetismo, especificamente o cálculo de campos magnéticos gerados por correntes elétricas. Para resolver, vamos calcular o campo magnético produzido por cada trecho do fio separadamente e depois somar esses campos usando o princípio da superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Biot-Savart, que nos diz que o campo magnético B em um ponto causado por um elemento de corrente $ I d\vec{l} $ é dado por:
I dl
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
  • $ I $ é a corrente elétrica,
  • $ d\vec{l} $ é o vetor infinitesimal de comprimento do fio,
  • $ \vec{r} $ é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos o campo.

Passo 3

Vamos dividir o fio em trechos menores onde a direção do vetor $ d\vec{l} $ e a posição relativa $ \vec{r} $ são constantes ou variam de forma simplificada. Para cada trecho, aplicamos a fórmula da Lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético $ d\vec{B} $.

Passo 4

Após calcular o campo magnético de cada trecho, usamos o princípio da superposição, que nos permite somar vetorialmente todos os campos magnéticos $ d\vec{B} $ para obter o campo total $ \vec{B} $ no ponto O.

Passo 5

Realizando a integração para cada trecho do fio e somando os resultados, obtemos o vetor campo magnético total no ponto O.

Resposta

O vetor campo magnético no ponto $ O $ é dado por
O
onde a soma é feita sobre todos os trechos do fio.

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