Uma placa condutora infinita de espessura d é posicionada paralelamente ao plano X Z de um sistema de coordenadas, de forma que seu plano médio coincide com este plano, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade de corrente estacionária, na região interna à placa, dada por J=J0 z, onde J0 é uma constante positiva e z é o unitário da direção Z. Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético produzido pela placa em um ponto localizado fora da mesma (|y|>d / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma placa condutora infinita com espessura $ d $, posicionada no plano $ \mathcal{X} \mathcal{Z} $. Dentro dessa placa, tem uma corrente constante na direção $ z $, representada por $ \vec{J} = J_0 \hat{\boldsymbol{z}} $. Nosso objetivo é usar a Lei de Ampère para descobrir o campo magnético nessa placa, mas especificamente fora dela (quando $ |y| > \frac{d}{2} $). Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la a simetrias como a dessa placa infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Lei de Ampère. Ela relaciona o campo magnético $ \vec{B} $ ao caminho fechado que escolhemos, ou seja:
B
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo e $ I_{enc} $ é a corrente total que atravessa o caminho escolhido.

Passo 3

Como a placa é infinita e a corrente está na direção $ z $, o campo magnético $ \vec{B} $ vai depender apenas da distância $ y $ do ponto em relação à placa e vai circular ao redor da direção da corrente. Isso sugere que podemos usar um retângulo de Ampère que envolve a placa.

Passo 4

Vamos escolher um retângulo de Ampère que tenha dois lados paralelos ao eixo $ z $, um acima e outro abaixo da placa. A ideia é que, devido à simetria, o campo magnético seja o mesmo em todos os pontos a mesma distância da placa e perpendicular aos lados do retângulo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a corrente encerrada $ I_{enc} $. Dentro da placa, a densidade de corrente é $ J_0 $. A área da placa que o retângulo de Ampère atravessa é $ L \times d $ (com $ L $ sendo o comprimento do lado paralelo ao $ z $). Então, a corrente total é:
Ienc

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère, temos:
oint B cdot dl = B times (2L) = mu0 Ienc = mu0 J0 L d
Aqui, $ 2L $ vem dos dois lados do retângulo onde o campo magnético contribui (os lados paralelos ao $ z $).

Passo 7

Resolvendo para $ B $:
B

Passo 8

Mas precisamos lembrar que estamos calculando o campo fora da placa (quando $ |y| > \frac{d}{2} $). Nesse caso, toda a corrente da placa está dentro do nosso caminho de Ampère, então a expressão acima já está correta para esse cenário.

Resposta

A intensidade do campo magnético fora da placa é
B = mu0 J0 d2

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