Uma placa condutora infinita de espessura
é posicionada paralelamente ao plano
de um sistema de coordenadas, de forma que seu plano médio coincide com este plano, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade de corrente estacionária, na região interna à placa, dada por
, onde
é uma constante positiva e
é o unitário da direção
. Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético produzido pela placa em um ponto localizado fora da mesma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma placa condutora infinita com espessura $ d $, posicionada no plano $ \mathcal{X} \mathcal{Z} $. Dentro dessa placa, tem uma corrente constante na direção $ z $, representada por $ \vec{J} = J_0 \hat{\boldsymbol{z}} $. Nosso objetivo é usar a Lei de Ampère para descobrir o campo magnético nessa placa, mas especificamente fora dela (quando $ |y| > \frac{d}{2} $). Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la a simetrias como a dessa placa infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Lei de Ampère. Ela relaciona o campo magnético $ \vec{B} $ ao caminho fechado que escolhemos, ou seja:
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade magnética do vácuo e $ I_{enc} $ é a corrente total que atravessa o caminho escolhido.
Passo 3
Como a placa é infinita e a corrente está na direção $ z $, o campo magnético $ \vec{B} $ vai depender apenas da distância $ y $ do ponto em relação à placa e vai circular ao redor da direção da corrente. Isso sugere que podemos usar um retângulo de Ampère que envolve a placa.
Passo 4
Vamos escolher um retângulo de Ampère que tenha dois lados paralelos ao eixo $ z $, um acima e outro abaixo da placa. A ideia é que, devido à simetria, o campo magnético seja o mesmo em todos os pontos a mesma distância da placa e perpendicular aos lados do retângulo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a corrente encerrada $ I_{enc} $. Dentro da placa, a densidade de corrente é $ J_0 $. A área da placa que o retângulo de Ampère atravessa é $ L \times d $ (com $ L $ sendo o comprimento do lado paralelo ao $ z $). Então, a corrente total é:
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère, temos:
Aqui, $ 2L $ vem dos dois lados do retângulo onde o campo magnético contribui (os lados paralelos ao $ z $).
Passo 7
Resolvendo para $ B $:
Passo 8
Mas precisamos lembrar que estamos calculando o campo fora da placa (quando $ |y| > \frac{d}{2} $). Nesse caso, toda a corrente da placa está dentro do nosso caminho de Ampère, então a expressão acima já está correta para esse cenário.
Resposta
A intensidade do campo magnético fora da placa é