4.1 As tensões em um circuito seguem uma distribuição normal com uma média de 5 volts e um desvio padrão de 0,2 volts. Qual é a probabilidade de que uma medição aleatória mostre uma tensão entre 4,8 e 5,2 volts?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- As tensões seguem uma distribuição normal com média
volts e desvio-padrão volts. - Queremos a probabilidade de uma medição aleatória estar entre
e volts, isto é, calcular
onde
é a tensão medida.
Passo 2
Ideia de resolução (conceito): para uma variável aleatória contínua com distribuição normal, probabilidades como
são áreas sob a curva da densidade normal entre
e
. Para facilitar o cálculo usamos a padronização para a distribuição normal padrão
, que tem média
e desvio-padrão
. A padronização é feita pela fórmula
onde:
-
é a variável original (tensão), -
é a média da distribuição (aqui ), -
é o desvio-padrão (aqui ).
Depois de transformar os limites em valores de, consultamos a tabela da normal padrão (ou usamos a simetria da normal) para obter probabilidades.
Passo 3
Calcular os valores padronizados (os
-scores) para os limites
e
. Aplicando a fórmula:
Portanto
onde
é a normal padrão.
Passo 4
Calcular
usando a função de distribuição acumulada da normal padrão
. Em termos de
,
Usando a simetria da normal padrão,
. Assim
Passo 5
Valor numérico: a tabela (ou calculadora) dá
. Substituindo,
Arredondando de forma prática,
ou seja cerca de
.
Passo 6
Interpretação e dica rápida para a prova: esse resultado é o famoso “empírico” da distribuição normal — aproximadamente
da massa está dentro de uma unidade de desvio-padrão da média,
dentro de duas, e
dentro de três. Aqui os limites
e
são exatamente
, por isso obtivemos ~
.
Passo 7
Exemplo extra (para fixar): se a média fosse
e o desvio-padrão
, a probabilidade de estar entre
e
volts (que é
) também seria aproximadamente
— mesma ideia: limites a
.