4.1 As tensões em um circuito seguem uma distribuição normal com uma média de 5 volts e um desvio padrão de 0,2 volts. Qual é a probabilidade de que uma medição aleatória mostre uma tensão entre 4,8 e 5,2 volts?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • As tensões seguem uma distribuição normal com média \mu=5 volts e desvio-padrão \sigma=0,2 volts.
  • Queremos a probabilidade de uma medição aleatória estar entre 4,8 e 5,2 volts, isto é, calcular
\mathbb{P}\bigl(4,8 \le X \le 5,2\bigr),
onde X é a tensão medida.

Passo 2

Ideia de resolução (conceito): para uma variável aleatória contínua com distribuição normal, probabilidades como \mathbb{P}(a\le X\le b) são áreas sob a curva da densidade normal entre a e b. Para facilitar o cálculo usamos a padronização para a distribuição normal padrão Z, que tem média 0 e desvio-padrão 1. A padronização é feita pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (tensão),
  • \mu é a média da distribuição (aqui \mu=5),
  • \sigma é o desvio-padrão (aqui \sigma=0,2).
    Depois de transformar os limites em valores de Z, consultamos a tabela da normal padrão (ou usamos a simetria da normal) para obter probabilidades.

Passo 3

Calcular os valores padronizados (os z-scores) para os limites 4,8 e 5,2. Aplicando a fórmula:
z_1=\frac{4,8-\mu}{\sigma}=\frac{4,8-5}{0,2}=\frac{-0,2}{0,2}=-1,
z_2=\frac{5,2-\mu}{\sigma}=\frac{5,2-5}{0,2}=\frac{0,2}{0,2}=1.
Portanto
\mathbb{P}\bigl(4,8 \le X \le 5,2\bigr)=\mathbb{P}\bigl(-1 \le Z \le 1\bigr),
onde Z é a normal padrão.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(-1\le Z\le 1) usando a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z). Em termos de \Phi,
\mathbb{P}(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Usando a simetria da normal padrão, \Phi(-1)=1-\Phi(1). Assim
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.

Passo 5

Valor numérico: a tabela (ou calculadora) dá \Phi(1)\approx0,84134. Substituindo,
\mathbb{P}(-1\le Z\le 1)=2\cdot0,84134-1=0,68268\ldots
Arredondando de forma prática,
\mathbb{P}\bigl(4,8 \le X \le 5,2\bigr)\approx0,6827,
ou seja cerca de 68,27\%.

Passo 6

Interpretação e dica rápida para a prova: esse resultado é o famoso “empírico” da distribuição normal — aproximadamente 68\% da massa está dentro de uma unidade de desvio-padrão da média, 95\% dentro de duas, e 99,7\% dentro de três. Aqui os limites 4,8 e 5,2 são exatamente \mu\pm1\sigma, por isso obtivemos ~ 68{,}27\%.

Passo 7

Exemplo extra (para fixar): se a média fosse 100 e o desvio-padrão 15, a probabilidade de estar entre 85 e 115 volts (que é 100\pm15) também seria aproximadamente 0,6827 — mesma ideia: limites a \pm1\sigma.

Resposta

0,6827 (aprox. 68,27\%)

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