Durante os testes de um circuito, verificou-se que ocorrem em média 0,5 curto-circuitos por hora.
(a) Qual a probabilidade de que ocorram mais de 2 curtos em 3 horas?
(b) Qual a probabilidade de que não ocorra nenhum curto em 2 horas?
(c) Qual o tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a
?
(a) Qual a probabilidade de que ocorram mais de 2 curtos em 3 horas?
(b) Qual a probabilidade de que não ocorra nenhum curto em 2 horas?
(c) Qual o tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: em média ocorrem
curto-circuitos por hora. - Pergunta (a): Qual a probabilidade de que ocorram mais de
curtos em horas? - Pergunta (b): Qual a probabilidade de que não ocorra nenhum curto em
horas? - Pergunta (c): Qual o tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a
?
Passo 2
Escolha do modelo e explicação do conceito que vamos usar (sem pular etapas).
- Quando um evento (curto-circuito) ocorre aleatoriamente no tempo com uma taxa média conhecida (aqui
por hora), um modelo natural para o número de eventos em um intervalo de tempo é a distribuição de Poisson. Vou explicar essa distribuição: - Denotemos por
a taxa média por unidade de tempo (aqui por hora). - Se consideramos um intervalo de duração
horas, então o parâmetro médio (esperança) do número de eventos nesse intervalo é . Esse valor é a média esperada de curtos nesse intervalo. - A probabilidade de observar exatamente
eventos (curtos) em um intervalo de duração é dada pela função massa de probabilidade da Poisson:
onde: -
é a variável aleatória que conta o número de curtos no intervalo de duração , -
é um inteiro não negativo ( ), -
é o fatorial de ( etc.), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
- Denotemos por
- Observação prática útil: para calcular a probabilidade de “mais do que” um certo valor, é comum usar o complementar. Por exemplo,
. Isso facilita muito os cálculos.
Passo 3
Aplicando o modelo ao item (a): mais de
curtos em
horas.
- Primeiro calcule o parâmetro médio para
horas: Esse é a média esperada de curtos em 3 horas. - Usaremos o complemento:
- Calcule cada termo usando a fórmula da Poisson com
:
Passo 4
Cálculo numérico do item (a) (mostrando as multiplicações passo a passo).
- Valor aproximado de
(pode memorizar , ): - Então:
- Soma:
- Portanto:
Arredondando razoavelmente, (ou cerca de ).
Passo 5
Item (b): probabilidade de que não ocorra nenhum curto em
horas.
- Calcule o parâmetro médio para
horas: - A probabilidade de zero eventos é:
- Valor numérico:
Logo (ou cerca de ).
Passo 6
Item (c): tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a
.
- A probabilidade de ao menos um curto em intervalo de duração
é: - Queremos
. Reorganizando: Tomando logaritmo natural (função monótona), lembrando que e que de número menor que 1 é negativo: Como , temos - Substituindo
: - Assim, o tempo mínimo para que a probabilidade seja superior a
é cerca de horas. - Converter para horas, minutos e segundos para ficar intuitivo:
ou seja minutos e Aproximando, isso dá aproximadamente .
Passo 7
Resumo interpretativo e dica prática para a prova (rapidamente, sem contas).
- Para este tipo de problema: identifique a taxa média
, calcule para o intervalo de interesse, e use a fórmula da Poisson . - Para “mais que” um valor, use o complemento
. - Para “ao menos um”, use
e resolva desigualdade usando logaritmo quando pedir tempo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(aprox.
)