Durante os testes de um circuito, verificou-se que ocorrem em média 0,5 curto-circuitos por hora.
(a) Qual a probabilidade de que ocorram mais de 2 curtos em 3 horas?
(b) Qual a probabilidade de que não ocorra nenhum curto em 2 horas?
(c) Qual o tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a 90 \% ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: em média ocorrem 0,5 curto-circuitos por hora.
  • Pergunta (a): Qual a probabilidade de que ocorram mais de 2 curtos em 3 horas?
  • Pergunta (b): Qual a probabilidade de que não ocorra nenhum curto em 2 horas?
  • Pergunta (c): Qual o tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a 90\%?

Passo 2

Escolha do modelo e explicação do conceito que vamos usar (sem pular etapas).
  • Quando um evento (curto-circuito) ocorre aleatoriamente no tempo com uma taxa média conhecida (aqui 0,5 por hora), um modelo natural para o número de eventos em um intervalo de tempo é a distribuição de Poisson. Vou explicar essa distribuição:
    • Denotemos por \lambda a taxa média por unidade de tempo (aqui \lambda=0,5 por hora).
    • Se consideramos um intervalo de duração t horas, então o parâmetro médio (esperança) do número de eventos nesse intervalo é \lambda t. Esse valor \lambda t é a média esperada de curtos nesse intervalo.
    • A probabilidade de observar exatamente k eventos (curtos) em um intervalo de duração t é dada pela função massa de probabilidade da Poisson:
    P(N=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!},onde:
    • N é a variável aleatória que conta o número de curtos no intervalo de duração t,
    • k é um inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots),
    • k! é o fatorial de k ( 0!=1,\\\ 1!=1,\\\ 2!=2, etc.),
    • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
  • Observação prática útil: para calcular a probabilidade de “mais do que” um certo valor, é comum usar o complementar. Por exemplo, P(N>2)=1-P(N\le 2)=1-[P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)]. Isso facilita muito os cálculos.

Passo 3

Aplicando o modelo ao item (a): mais de 2 curtos em 3 horas.
  • Primeiro calcule o parâmetro médio para t=3 horas: \lambda t = 0,5 \times 3 = 1,5.Esse 1,5 é a média esperada de curtos em 3 horas.
  • Usaremos o complemento: P(N>2)=1-P(N\le 2)=1-\bigl[P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)\bigr].
  • Calcule cada termo usando a fórmula da Poisson com \lambda t=1,5: P(N=0)=e^{-1,5}\frac{(1,5)^0}{0!}=e^{-1,5}.
P(N=1)=e^{-1,5}\frac{(1,5)^1}{1!}=e^{-1,5}\cdot 1,5.
P(N=2)=e^{-1,5}\frac{(1,5)^2}{2!}=e^{-1,5}\cdot\frac{(1,5)^2}{2}=e^{-1,5}\cdot 1,125.

Passo 4

Cálculo numérico do item (a) (mostrando as multiplicações passo a passo).
  • Valor aproximado de e^{-1,5} (pode memorizar e^{-1}\approx 0,3679, e^{-1,5}\approx 0,22313): e^{-1,5}\approx 0,22313016.
  • Então: P(N=0)\approx 0,22313016.
P(N=1)\approx 0,22313016\times 1,5 \approx 0,33469524.
P(N=2)\approx 0,22313016\times 1,125 \approx 0,25102143.
  • Soma: P(N\le 2)\approx 0,22313016+0,33469524+0,25102143 \approx 0,80884683.
  • Portanto: P(N>2)=1-P(N\le 2)\approx 1-0,80884683\approx 0,19115317.Arredondando razoavelmente, P(N>2)\approx 0,1912 (ou cerca de 19{,}12\%).

Passo 5

Item (b): probabilidade de que não ocorra nenhum curto em 2 horas.
  • Calcule o parâmetro médio para t=2 horas: \lambda t = 0,5\times 2 = 1.
  • A probabilidade de zero eventos é: P(N=0)=e^{-\lambda t}=e^{-1}.
  • Valor numérico: e^{-1}\approx 0,36787944.Logo P(N=0\\ \text{em 2 h})\approx 0,3679 (ou cerca de 36{,}79\%).

Passo 6

Item (c): tempo necessário para que a probabilidade de ao menos um curto seja superior a 90\%.
  • A probabilidade de ao menos um curto em intervalo de duração t é: P(\text{ao menos 1})=1-P(N=0)=1-e^{-\lambda t}.
  • Queremos 1-e^{-\lambda t}>0{,}9. Reorganizando: e^{-\lambda t}<0{,}1.Tomando logaritmo natural (função monótona), lembrando que \ln(e^{x})=x e que \ln de número menor que 1 é negativo: -\lambda t < \ln(0{,}1).Como \ln(0{,}1)=-\ln(10)\approx -2{,}30258509, temos \lambda t > 2{,}30258509.
  • Substituindo \lambda=0{,}5: t > \frac{2{,}30258509}{0{,}5}=4{,}60517018\\ \text{horas}.
  • Assim, o tempo mínimo para que a probabilidade seja superior a 90\% é cerca de 4{,}6052 horas.
  • Converter para horas, minutos e segundos para ficar intuitivo: 0{,}60517018\\ \text{h} \times 60 \approx 36{,}3102108\\ \text{min},ou seja 36 minutos e 0{,}3102108\\ \text{min}\times 60 \approx 18{,}61265\\ \text{s}.Aproximando, isso dá aproximadamente 4\\ \text{h }36\\ \text{min }19\\ \text{s}.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica prática para a prova (rapidamente, sem contas).
  • Para este tipo de problema: identifique a taxa média \lambda, calcule \lambda t para o intervalo de interesse, e use a fórmula da Poisson P(N=k)=e^{-\lambda t}(\lambda t)^k/k!.
  • Para “mais que” um valor, use o complemento 1-P(\le \text{valor}).
  • Para “ao menos um”, use 1-P(0)=1-e^{-\lambda t} e resolva desigualdade usando logaritmo quando pedir tempo.

Resposta

(a) P(N>2\\ \text{em 3 h})\approx 0,1912
(b) P(N=0\\ \text{em 2 h})\approx 0,3679
(c) t>4,6052\\ \text{h} (aprox. 4\\ \text{h }36\\ \text{min }19\\ \text{s})

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