Uma corrente vaporizada é parcialmente condensada em um trocador de calor. A corrente de saída bifásica é separada em um tanque. A carga contém 60 moles \% de metanol
Apostila de Exercícios de OP II
Prof. Marisa F. Mendes
e 40 moles \% de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} possuindo uma vazão de 50 \frac{k g \text { moles }}{h}. O tanque de separação opera a 101,3 \mathrm{kPa}.
a) Se 80 \% da corrente é liquefeita, quais serão as composições de saída?
b) Se o produto vapor possui uma composição de 64 \% molar de metanol, qual será a sua vazão?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas (peguei todos os números do enunciado):
  • Composição da corrente de alimentação (feed): \,60\% molar de metanol e \,40\% molar de água. Em notação: \;z_{\text{MeOH}}=0{,}60, \;z_{\text{H}_2\text{O}}=0{,}40.
  • Vazão da alimentação: \;F=50\\ \mathrm{kmol/h} (o enunciado escreveu “ 50\\ \frac{\text{k g moles}}{h}”, interpretei como 50\\ \mathrm{kmol/h}, unidade típica).
  • Pressão de operação do separador: \;P=101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • (a) Se 80\% da corrente é liquefeita, ou seja \;L/F=0{,}80 (logo \beta = V/F = 0{,}20), determinar as composições das correntes vapor e líquido de saída: ou seja \;x_i (liquido) e \;y_i (vapor) para MeOH e H2O.
  • (b) Se o produto vapor possui composição molar de metanol \;y_{\text{MeOH}}=0{,}64, qual será a sua vazão V? (Observação: o enunciado não dá diretamente uma relação de equilíbrio (p.ex. constantes K ou temperatura). Para determinar unicamente V a partir de y é preciso uma relação de equilíbrio líquido-vapor à pressão dada. Vou explicitar isso e mostrar como proceder; também apresento um cálculo-exemplo assumindo equilíbrio ideal com Raoult (Antoine) para obter um número ilustrativo.)

Passo 2

Estratégia e fórmulas fundamentais (aulas rápidas, bem devagar e sem pular etapas).
  1. Balances de massa para mistura binária (MeOH = componente 1, H2O = componente 2):
  • Balanço global: \;F = L + V.
  • Balanço para o componente 1 (MeOH): \;F z_1 = L x_1 + V y_1.
    Aqui \;z_1 é a fração molar do componente 1 na alimentação, \;x_1 é a fração molar em fase líquida e \;y_1 em fase vapor. Todo mundo em frações molares (0 a 1).
  1. Relação de equilíbrio (quando as duas fases estão em equilíbrio): para soluções ideais e usando a lei de Raoult,
y_i \, P = x_i \, p_i^{\text{sat}}(T),
logo
K_i(T) \equiv \frac{y_i}{x_i} = \frac{p_i^{\text{sat}}(T)}{P}.
Explicando: p_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor saturado do componente i na temperatura T. A constante de equilíbrio K_i depende de T e da pressão total P.
  1. Relação útil para flash (Rachford–Rice): definindo \beta \equiv V/F (fração molar vapor), temos
x_i = \frac{z_i}{1 + \beta (K_i - 1)}, \qquad y_i = K_i x_i.
E a equação de Rachford–Rice (condição de conservação da matéria globalmente) é
\sum_i \frac{z_i (K_i - 1)}{1 + \beta (K_i - 1)} = 0.
Explicando: para um dado conjunto K_i(T) e \beta, essa soma deve ser zero; isso permite achar \beta para um T dado, ou (como faremos) achar T que dá um \beta desejado.
  1. Como obter p_i^{\text{sat}}(T): uso a equação de Antoine (forma prática). A forma usada aqui (parâmetros A, B, C) é
\log_{10}\big(p_i^{\text{sat}}(\text{mmHg})\big) = A_i - \frac{B_i}{C_i + T(^\circ\mathrm{C})}.
Depois converto p^{\text{sat}} de mmHg para kPa por 1\\ \text{mmHg}=0{,}133322\\ \text{kPa}.
Parâmetros (valores convencionais adequados à faixa 1- 100^\circ\mathrm{C}):
  • Metanol: A=8{,}08097,\; B=1582{,}271,\; C=239{,}726.
  • Água: A=8{,}07131,\; B=1730{,}63,\; C=233{,}426.
    Observação didática: esses parâmetros são tabelados (fontes como Perry ou NIST). Aqui os usei porque o enunciado não dava K nem T; para um cálculo numérico concreto precisamos deles.
  1. Resumo do procedimento prático:
  • Para (a): \beta já é conhecido ( 0{,}20). Procuramos a temperatura T tal que, usando Antoine → K_i(T) e a equação de Rachford–Rice com \beta=0{,}20, a soma seja zero. Isso nos dá T. Com K_i e \beta calculamos x_i e y_i.
  • Para (b): sabendo y_1 apenas, para obter V é preciso saber a relação de equilíbrio (i.e., K_i ou a temperatura). Sem isso o problema está indeterminado. Mostro a fórmula que dá V uma vez conhecido x_1 (ou K_1 e \beta), e também dou um exemplo numérico assumindo o mesmo equilíbrio encontrado em (a).

Passo 3

Cálculo detalhado — Parte (a): “Se 80\% da corrente é liquefeita” ⇒ \beta = V/F = 0{,}20.
  1. Escrever a equação de Rachford–Rice para este binário com \beta=0{,}20:
f(T)\equiv \sum_{i=1}^{2} \frac{z_i (K_i(T) - 1)}{1 + 0{,}20\,(K_i(T)-1)} = 0,
onde K_i(T) = p_i^{\text{sat}}(T)/P e P=101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  1. Procedimento numérico (explico o que fiz): escolhi T inicial entre os pontos de ebulição dos componentes (metanol ebule ~ 64{,}7^\circ\mathrm{C} a 1 atm, água 100^\circ\mathrm{C}), e usei iterações (bisseção/interpolação) até que f(T)=0 com precisão suficiente. Em cada tentativa:
  • calculei p_i^{\text{sat}} em mmHg pela Antoine,
  • converti para kPa,
  • calculei K_i = p_i^{\text{sat}}/P,
  • avaliei f(T).
  1. Resultado da iteração (mostrando alguns pontos para aprendizado):
  • Em T=65^\circ\mathrm{C} o sinal de f(T) era negativo;
  • Em T=75^\circ\mathrm{C} o sinal era levemente negativo/positivo (próximo de zero);
  • refinando cheguei em T \approx 75{,}52^\circ\mathrm{C} que satisfaz f(T)\approx 0.
  1. Valores de equilíbrio neste T (arredondamentos apresentados com 4 dígitos relevantes):
  • Para T=75{,}52^\circ\mathrm{C} calculei (pela Antoine e conversão): p_{\text{MeOH}}^{\text{sat}} \approx 153{,}1\\ \mathrm{kPa},\qquad p_{\text{H}_2\text{O}}^{\text{sat}} \approx 39{,}4\\ \mathrm{kPa}.Assim K_{\text{MeOH}} = \frac{153{,}1}{101{,}3} \approx 1{,}511,\qquad K_{\text{H}_2\text{O}} = \frac{39{,}4}{101{,}3} \approx 0{,}389.
  1. Agora aplicar as fórmulas (com \beta=0{,}20):
x_i = \frac{z_i}{1 + \beta (K_i - 1)},\qquad y_i = K_i x_i.
Cálculos:
  • Para metanol: x_{\text{MeOH}} = \frac{0{,}60}{1 + 0{,}20\,(1{,}511-1)} = \frac{0{,}60}{1 + 0{,}20\cdot 0{,}511} = \frac{0{,}60}{1{,}1022} \approx 0{,}5446.
y_{\text{MeOH}} = K_{\text{MeOH}}\,x_{\text{MeOH}} \approx 1{,}511\cdot 0{,}5446 \approx 0{,}8228.
  • Para água (verificação de complementaridade): x_{\text{H}_2\text{O}} = 1 - x_{\text{MeOH}} \approx 0{,}4554, \qquad y_{\text{H}_2\text{O}} = 1 - y_{\text{MeOH}} \approx 0{,}1772.
(As contas individuais pela fórmula também dão os mesmos valores dentro de pequenas diferenças numéricas.)
  1. Interpretando:
  • A fase líquida sai com aproximadamente x_{\text{MeOH}} \approx 0{,}5446 (54,46 mol% metanol).
  • A fase vapor sai com aproximadamente y_{\text{MeOH}} \approx 0{,}8228 (82,28 mol% metanol).
  • A temperatura de equilíbrio que garante essa divisão (com as constantes de Antoine usadas) é \;T \approx 75{,}52^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Resposta e interpretação didática da Parte (a):
  • Passo-a-passo que você usaria na prova sem calculadora (resumo concreto):
    1. Identifique \beta=V/F. Como 80\% liquefeito, \beta=0{,}20.
    2. Use Antoine para obter p_i^{\text{sat}}(T) e calcule K_i(T)=p_i^{\text{sat}}(T)/P.
    3. Ajuste T até que \sum_i \dfrac{z_i(K_i-1)}{1+\beta(K_i-1)}=0 (Rachford–Rice). Isso pode ser feito por tentativa/refinamento (bisseção/interpolação).
    4. Depois calcule x_i=\dfrac{z_i}{1+\beta(K_i-1)} e y_i=K_i x_i.
    5. Chegou-se a x_{\text{MeOH}}\approx0{,}5446 e y_{\text{MeOH}}\approx0{,}8228 — pronto.

Passo 5

Parte (b) — discussão de determinabilidade e cálculo-exemplo
  1. Observação fundamental (muito importante para a prova): saber apenas y_{\text{MeOH}}=0{,}64 NÃO é suficiente para determinar V unicamente. Por quê?
  • Porque as equações disponíveis são: F = L + V,\qquad F z_1 = L x_1 + V y_1.Aqui z_1, F, y_1 são conhecidos, mas L e x_1 (ou V e x_1) são duas incógnitas e só temos duas equações se conhecermos adicionalmente a relação de equilíbrio y_i = K_i(T) x_i (ou seja, precisamos de K_i ou da temperatura de separação). Sem K_i(T) (ou sem T), o problema é indeterminado: infinitas combinações de V e x_1 satisfazem os balanços.
  1. Fórmula prática (se x_1 fosse conhecida): a partir do balanço do componente 1
F z_1 = (F-V) x_1 + V y_1
isolamos V:
V = \frac{F (z_1 - x_1)}{y_1 - x_1}.
Mas aí precisamos de x_1 — que vem do equilíbrio: x_1 = y_1/K_1(T) se K_1 conhecido.
  1. Exemplo numérico ilustrativo (assumindo equilíbrio ao mesmo T encontrado em (a)):
  • Se eu ASSUMIR que o separador opera na mesma temperatura encontrada em (a) (ou seja, os mesmos K_i: K_{\text{MeOH}}\approx1{,}511 naquele T), então x_{\text{MeOH}} = \frac{y_{\text{MeOH}}}{K_{\text{MeOH}}} = \frac{0{,}64}{1{,}511} \approx 0{,}4236.Usando a fórmula para V: V = \frac{F (z_1 - x_1)}{y_1 - x_1} = \frac{50\cdot(0{,}60 - 0{,}4236)}{0{,}64 - 0{,}4236} \approx \frac{50\cdot 0{,}1764}{0{,}2164} \approx 40{,}77\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Atenção: esse número é um exemplo calculado sob a hipótese explícita de que os K são os mesmos que em (a). Na prática, para obter o valor verdadeiro de V quando é dado y, é necessário conhecer a temperatura (ou os K). Sem essa hipótese, o valor de V não é único.

Resposta

a) x_{\text{MeOH}} \approx 0{,}5446 (54,46 mol% MeOH) e y_{\text{MeOH}} \approx 0{,}8228 (82,28 mol% MeOH).\n
b) Não é possível determinar unicamente V apenas com y_{\text{MeOH}}=0{,}64 sem a relação de equilíbrio (ou seja, sem K_i ou temperatura). Exemplo: assumindo equilíbrio na mesma temperatura encontrada em (a) ( K_{\text{MeOH}}\approx1{,}511), obtém-se V \approx 40{,}8\\ \mathrm{kmol/h}.

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