Um solvente A precisa ser recuperado de uma solução aquosa. Para isso, é preciso que o produto de topo contenha 95 \mathrm{~mol} \% de A e que se recupere 95 \% de A da alimentação. A alimentação é feita através de duas correntes, uma contendo 40 \mathrm{~mol} \% de A e a outra 60 \mathrm{mol} \% de A . Cada corrente de alimentação contém 50 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de A e são alimentadas como líquido saturado. Como o componente menos volátil é a água, foi proposto retirar o refervedor e fazer alimentação de um vapor direto. Para um projeto preliminar, foi proposto que a \mathrm{R}_{\mathrm{R}}=1,33 * \mathrm{R}_{\mathrm{R}} \min. Um condensador total é utilizado e a volatilidade relativa pode ser considerada constante e igual a 3,0 . Determine, utilizando o método de McCabe-Thiele, o número de pratos necessários à separação e os pratos das cargas.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados das correntes de alimentação:
    • Corrente 1: x_{F1}=0{,}40 de A e contém 50\\ \text{kmol/h} de A.
    • Corrente 2: x_{F2}=0{,}60 de A e contém 50\\ \text{kmol/h} de A.
    • Observação: cada corrente contém 50\\ \text{kmol/h} de A, logo as vazões molares totais das correntes são F_1=\frac{50}{0{,}40}=125\\ \text{kmol/h},\qquad F_2=\frac{50}{0{,}60}=83{,}333\\ \text{kmol/h}.
  • Total alimentação: F = F_1 + F_2 = 125 + 83{,}333 = 208{,}333\\ \text{kmol/h}.Total de A na alimentação: 50+50=100\\ \text{kmol/h}. Fração de A na alimentação global: z_F=\frac{100}{208{,}333}=0{,}48.
  • Especificações de separação:
    • Destilado com x_D=0{,}95 (95 mol% de A).
    • Recuperação de A = 95\% da alimentação \Rightarrow moles de A em D: 0{,}95\cdot100=95\\ \text{kmol/h}.
    • Então vazão de destilado: D=\frac{95}{0{,}95}=100\\ \text{kmol/h}.
    • Balanceando, vazão de fundo: B=F-D=208{,}333-100=108{,}333\\ \text{kmol/h}.
    • Fração de A no fundo: x_B=\frac{100-95}{108{,}333}=\frac{5}{108{,}333}=0{,}0461538\\ (\approx0{,}04615).
  • Dados de equilíbrio e operação:
    • Volatilidade relativa constante \alpha=3{,}0.
    • Proposta de projeto: \displaystyle R=1{,}33\,R_{\min}.
    • Condensador total (logo no topo: y=x_D).
    • Foi proposto alimentar por vapor direto (alimentação saturada em vapor) → fator de alimentação q=0 (linha q é horizontal em y=z_F).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar, usando McCabe–Thiele, o número de pratos necessários para a separação (número de pratos teóricos).
    2. Determinar os pratos onde devem entrar as cargas (as duas correntes de alimentação).

Passo 2

Breve “mini-aula” do método que vou usar (McCabe–Thiele) e fórmulas essenciais — explicando cada coisa de forma prática.
  • Equilíbrio líquido-vapor (para volatilidade relativa constante \alpha em sistema binário):
    y = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
    Aqui:
    • x é fração molar de componente mais volátil (A) na fase líquida,
    • y é fração molar de A na fase vapor,
    • \alpha é a volatilidade relativa =\dfrac{K_A}{K_B} (aqui dado constante).
      Essa expressão relaciona a composição do líquido com a do vapor em equilíbrio (curva de equilíbrio usada no McCabe–Thiele).
  • Linha de operação da seção retificadora (acima do ponto de alimentação, com condensador total):
    y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
    • R é o refluxo (razão refluxo/distilado),
    • x_D é a composição do destilado.
      A inclinação é m_{\text{rect}}=\dfrac{R}{R+1} e o intercepto é x_D/(R+1).
  • Linha de operação da seção de base (stripping): passa pelo ponto de alimentação (interseção com a q-line) e pelo ponto de fundo (x_B,y_{B,\text{eq}}). Para montar a linha de stripping basta conhecer:
    • o ponto de interseção com a q-line (no nosso caso q=0 então a q-line é y=z_F horizontal),
    • o ponto de fundo, normalmente (x_B,\;y_{eq}(x_B)).
  • Posição de alimentação (q-line): para alimentação como vapor saturado q=0, a q-line é horizontal y=z_F.
  • Refluxo mínimo R_{\min} (caso prático e direto para q=0): quando a linha de operação retificadora corta a q-line exatamente no ponto de equilíbrio (pinch), pode-se calcular R_{\min} encontrando o ponto x_t tal que y_{\text{eq}}(x_t)=z_F e então
    R_{\min}=\frac{x_D - z_F}{z_F - x_t}.
    (Derivação: a linha que liga (x_D,x_D) e (x_t,z_F) é a reta retificadora no ponto de refluxo mínimo.)
  • Contagem de pratos (McCabe–Thiele): a contagem gráfica (ou por passos numéricos) é feita alternando horizontais (equilíbrio: y_{\text{eq}}(x)) e verticais (linha de operação) a partir de y=x_D até x=x_B. Cada “passo” horizontal+vertical corresponde a uma bandeja teórica.
Agora que temos as fórmulas, vou aplicá‑las passo a passo com os números do problema.

Passo 3

Determinar o ponto de equilíbrio associado ao fundo e checagens numéricas iniciais.
  • Curva de equilíbrio (com \alpha=3{,}0): y=\frac{3x}{1+2x}.
  • No fundo temos x_B=0{,}0461538. O y correspondente em equilíbrio no fundo é y_B = \frac{3 x_B}{1+2x_B} =\frac{3\cdot0{,}0461538}{1+2\cdot0{,}0461538} =\frac{0{,}1384614}{1{,}0923076}\approx0{,}126785.(Esse ponto (x_B,y_B) será usado para definir a linha de stripping.)

Passo 4

Calcular o refluxo mínimo R_{\min} para alimentação como vapor saturado ( q=0).
  • Primeiro encontro x_t tal que y_{\text{eq}}(x_t)=z_F. Ou seja resolver \frac{3x_t}{1+2x_t}=0{,}48.Resolvendo: 3x_t = 0{,}48(1+2x_t)=0{,}48+0{,}96x_t \quad\Rightarrow\quad 3x_t-0{,}96x_t=0{,}48
2{,}04 x_t = 0{,}48 \quad\Rightarrow\quad x_t = \frac{0{,}48}{2{,}04} = 0{,}235294.
  • Agora aplico a fórmula para R_{\min}: R_{\min}=\frac{x_D - z_F}{z_F - x_t} =\frac{0{,}95-0{,}48}{0{,}48-0{,}235294} =\frac{0{,}47}{0{,}244706}\approx1{,}920.
Portanto R_{\min}\approx1{,}92.

Passo 5

Calcular R efetivo usado no projeto e montar as linhas de operação.
  • Refluxo proposto:
    R = 1{,}33\,R_{\min} = 1{,}33\cdot1{,}92 = 2{,}5536 \approx 2{,}554.
  • Retificadora: coeficiente angular e intercepto
    m_{\text{rect}}=\frac{R}{R+1}=\frac{2{,}5536}{3{,}5536}=0{,}7188, \qquad b_{\text{rect}}=\frac{x_D}{R+1}=\frac{0{,}95}{3{,}5536}=0{,}2674.
    Logo a reta retificadora é
    y = 0{,}7188\,x + 0{,}2674.
  • A interseção da reta retificadora com a q-line horizontal y=z_F=0{,}48 define o ponto de alimentação (composição líquida no ponto de alimentação):
    x_q=\frac{z_F - b_{\text{rect}}}{m_{\text{rect}}} =\frac{0{,}48-0{,}2674}{0{,}7188} =\frac{0{,}2126}{0{,}7188}\approx0{,}2958.
    (Esse x_q é a composição líquida no ponto de alimentação se a alimentação fosse única combinada.)
  • Agora determino a reta de stripping: ela passa por (x_q,z_F)=(0{,}2958,0{,}48) e por (x_B,y_B)=(0{,}0461538,0{,}126785).
    A inclinação da stripping:
    m_{\text{strip}}=\frac{0{,}48-0{,}126785}{0{,}2958-0{,}0461538} =\frac{0{,}353215}{0{,}2496462}\approx1{,}4153.
    Intercepto:
    b_{\text{strip}} = z_F - m_{\text{strip}}\,x_q = 0{,}48 - 1{,}4153\cdot0{,}2958 \approx 0{,}0612.
    Reta de stripping:
    y = 1{,}4153\,x + 0{,}0612.
Resumo das equações usadas no McCabe–Thiele numérico:
  • Curva de equilíbrio: y=\dfrac{3x}{1+2x}.
  • Retificadora: y=0{,}7188\,x +0{,}2674.
  • Stripping: y=1{,}4153\,x +0{,}0612.
  • q-line: y=0{,}48 (horizontal).

Passo 6

Contagem de pratos pelo método de McCabe–Thiele (passo a passo numérico). Vou fazer as iterações (cada iteração horizontal até a curva de equilíbrio e vertical até a linha de operação correspondente). Cada par (horizontal + vertical) conta como 1 prato teórico. Começo no topo com y=x_D=0{,}95.
  1. De y=0{,}95 horizontalmente até a curva de equilíbrio: resolvo \dfrac{3x}{1+2x}=0{,}95.
    3x = 0{,}95(1+2x) \Rightarrow 3x -1{,}9x=0{,}95 \Rightarrow x=0{,}863636.
    Depois desço verticalmente até a reta retificadora:
    y = 0{,}7188\cdot0{,}863636 + 0{,}2674 = 0{,}8874.
    (1 prato)
  2. Horizontal até equilíbrio: resolver 3x/(1+2x)=0{,}8874 x\approx0{,}7242.
    Vertical até retificadora: y=0{,}7188\cdot0{,}7242+0{,}2674=0{,}7880.
    (2 pratos)
  3. Equilíbrio para y=0{,}7880 x\approx0{,}5532.
    Retificadora: y=0{,}7188\cdot0{,}5532+0{,}2674=0{,}6653.
    (3 pratos)
  4. Equilíbrio para y=0{,}6653 x\approx0{,}3987.
    Retificadora: y=0{,}7188\cdot0{,}3987+0{,}2674=0{,}5538.
    (4 pratos)
  5. Equilíbrio para y=0{,}5538 x\approx0{,}2926.
    Retificadora: y=0{,}7188\cdot0{,}2926+0{,}2674=0{,}4778.
    (5 pratos)
Repare que após 5 pratos a linha retificadora leva a y\approx0{,}4778, muito próximo de z_F=0{,}48. Ou seja, estamos praticamente na região da alimentação: portanto há 5 pratos na seção retificadora antes do(s) ponto(s) de alimentação. Em outras palavras, a alimentação combinada cairia aproximadamente na posição após 5 pratos (logo, o ponto de alimentação está na vizinhança do 5.º prato contando de cima).
Agora troco para a linha de stripping (entramos na seção de baixo do ponto de alimentação) e continuo os passos até o x_B:
A partir do ponto líquido x\approx0{,}2926 (na etapa acima), aplico a stripping:
  1. Vertical até stripping: y=1{,}4153\cdot0{,}2926+0{,}0612=0{,}4753.
    Horizontal até equilíbrio y=0{,}4753 x\approx0{,}2320.
    (6.º prato total)
  2. Stripping vertical: y=1{,}4153\cdot0{,}2320+0{,}0612=0{,}3897.
    Equilíbrio: y=0{,}3897 x\approx0{,}1755.
    (7.º prato)
  3. y=1{,}4153\cdot0{,}1755+0{,}0612=0{,}3096 → equilíbrio x\approx0{,}1301.
    (8.º prato)
  4. y=1{,}4153\cdot0{,}1301+0{,}0612=0{,}2453 → equilíbrio x\approx0{,}0978.
    (9.º prato)
  5. y=1{,}4153\cdot0{,}0978+0{,}0612=0{,}1997 → equilíbrio x\approx0{,}07675.
    (10.º prato)
  6. y=1{,}4153\cdot0{,}07675+0{,}0612=0{,}1698 → equilíbrio x\approx0{,}06382.
    (11.º prato)
  7. y=1{,}4153\cdot0{,}06382+0{,}0612=0{,}1515 → equilíbrio x\approx0{,}05618.
    (12.º prato)
  8. y=1{,}4153\cdot0{,}05618+0{,}0612=0{,}1407 → equilíbrio x\approx0{,}05175.
    (13.º prato)
  9. y=1{,}4153\cdot0{,}05175+0{,}0612=0{,}1344 → equilíbrio x\approx0{,}04924.
    (14.º prato)
  10. y=1{,}4153\cdot0{,}04924+0{,}0612=0{,}1309 → equilíbrio x\approx0{,}04780.
    (15.º prato)
  11. y=1{,}4153\cdot0{,}04780+0{,}0612=0{,}1289 → equilíbrio x\approx0{,}04698.
    (16.º prato)
  12. y=1{,}4153\cdot0{,}04698+0{,}0612=0{,}1277 → equilíbrio x\approx0{,}04646.
    (17.º prato)
  13. y=1{,}4153\cdot0{,}04646+0{,}0612\approx0{,}1269 → equilíbrio x\approx0{,}04622.
    (18.º prato)
Em mais um pequeno passo numérico chegaríamos praticamente a x_B=0{,}0461538. Portanto a contagem estabiliza próxima a 18 pratos teóricos.
Conclusão desta contagem numérica: número total de pratos teóricos (contando desde o topo até o fundo, excluindo o condensador total) necessário para a separação com R=1{,}33\,R_{\min} é aproximadamente
\boxed{N \approx 18\\ \text{pratos teóricos}.}ó
Observações interpretativas:
  • Foram obtidos aproximadamente 5 pratos na seção retificadora (acima do(s) ponto(s) de alimentação) e cerca de 13 pratos na seção stripper (abaixo do(s) ponto(s) de alimentação), totalizando \approx18.
  • Essa contagem é feita em passos ideais (pratos teóricos), supondo overflow molar constante, curva de equilíbrio dada e sem perdas. Em projeto real inseriria fatores de eficiência, folgas, etc.

Passo 7

Determinar as posições das duas correntes de alimentação (os “pratos das cargas”).
Explicação do raciocínio didático: como há duas correntes que originalmente vinham como líquidos com composições diferentes ( x_{F1}=0{,}40 e x_{F2}=0{,}60), e a proposta é alimentá‑las como vapor direto (ou seja, vaporizar antes de entrar), o vapor de cada alimentação terá a composição dada pela curva de equilíbrio correspondente à sua composição líquida original (vapor saturado em equilíbrio com líquido saturado). Para cada líquida x_{Fi} o vapor de alimentação terá
y_{Fi} = \frac{3 x_{Fi}}{1+2 x_{Fi}}.
Calculo desses y_{Fi}:
  • Para x_{F1}=0{,}40: y_{F1}=\frac{3\cdot0{,}40}{1+2\cdot0{,}40}=\frac{1{,}2}{1{,}8}=0{,}6667.
  • Para x_{F2}=0{,}60: y_{F2}=\frac{3\cdot0{,}60}{1+2\cdot0{,}60}=\frac{1{,}8}{2{,}2}=0{,}81818.
Como regra prática de projeto (e também pelo comportamento observado no McCabe–Thiele), o alimento mais rico em componente volátil deve entrar mais perto do topo (acima do alimento mais pobre), isto é, a alimentação mais rica entra numa bandeja mais alta. Para posicionar os dois alimentadores utilizamos os passos que fizemos no McCabe–Thiele: durante a contagem observei onde as composições líquidas nos pratos passam por valores próximos a x\approx0{,}60 e x\approx0{,}40 (para correspondência com as composições líquidas originais) — isso indica onde, ao injetar cada alimentação (vapor), o vapor entrante estará em melhores condições de se integrar ao perfil da coluna.
Na contagem feita (listagem de x em cada prato a partir do topo) obtive aproximadamente:
  • após 2 pratos: x\approx0{,}7242 (mais alto),
  • após 3 pratos: x\approx0{,}5532,
  • após 4 pratos: x\approx0{,}3987.
Portanto:
  • A alimentação com x_{F2}=0{,}60 (a mais rica) é melhor colocada entre o 2.º e o 3.º prato (mais perto do topo). Pela aproximação dos pontos, posicionamento prático: no 3.º prato (contando de cima).
  • A alimentação com x_{F1}=0{,}40 (a menos rica) é melhor colocada ao redor do 4.º prato (contando de cima), pois o líquido nesse nível ficou x\approx0{,}3987.
Outra maneira de dizer (simples e prática para projeto preliminar):
  • Colocar a corrente com 60\% A no 3.º prato a partir do topo.
  • Colocar a corrente com 40\% A no 4.º prato a partir do topo.
Justificativa curta: o fluxo de vapor introduzido por cada alimentação mistura‑se melhor quando o seu conteúdo de A (como vapor) é compatível com as composições locais da coluna; o alimentador mais rico vai mais acima.

Passo 8

Resumo final, checando coerência com os dados (números arredondados para projeto preliminar):
  • R_{\min}\approx1{,}92.
  • Foi adotado R\approx2{,}55 (igual a 1{,}33\,R_{\min}).
  • Contagem pelo McCabe–Thiele com \alpha=3{,}0 e q=0 deu N_{\text{pratos teóricos}} \approx 18.ó
  • Posicionamento das duas correntes de alimentação (proposta prática):
    • Alimentação com x=0{,}60 (60 mol% A) → inserir no 3.º prato a partir do topo.
    • Alimentação com x=0{,}40 (40 mol% A) → inserir no 4.º prato a partir do topo.
Dica de incentivo: ficou grande o desenvolvimento, mas a ideia central é essa — com esses passos você já tem o essencial para transformar em desenho/diagrama e eventualmente ajustar com eficiências reais e margem de segurança.

Resposta

Número de pratos teóricos ≈ 18
Prato da alimentação com 60 mol% A: 3.º prato (contando de cima)
Prato da alimentação com 40 mol% A: 4.º prato (contando de cima)

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