Um solvente A precisa ser recuperado de uma solução aquosa. Para isso, é preciso que o produto de topo contenha
de A e que se recupere
de A da alimentação. A alimentação é feita através de duas correntes, uma contendo
de A e a outra 60
de A . Cada corrente de alimentação contém
de A e são alimentadas como líquido saturado. Como o componente menos volátil é a água, foi proposto retirar o refervedor e fazer alimentação de um vapor direto. Para um projeto preliminar, foi proposto que a
. Um condensador total é utilizado e a volatilidade relativa pode ser considerada constante e igual a 3,0 . Determine, utilizando o método de McCabe-Thiele, o número de pratos necessários à separação e os pratos das cargas.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Dados das correntes de alimentação:
- Corrente 1:
de A e contém de A. - Corrente 2:
de A e contém de A. - Observação: cada corrente contém
de A, logo as vazões molares totais das correntes são
- Corrente 1:
- Total alimentação:
Total de A na alimentação: . Fração de A na alimentação global: - Especificações de separação:
- Destilado com
(95 mol% de A). - Recuperação de A =
da alimentação moles de A em D: . - Então vazão de destilado:
- Balanceando, vazão de fundo:
- Fração de A no fundo:
- Destilado com
- Dados de equilíbrio e operação:
- Volatilidade relativa constante
. - Proposta de projeto:
. - Condensador total (logo no topo:
). - Foi proposto alimentar por vapor direto (alimentação saturada em vapor) → fator de alimentação
(linha é horizontal em ).
- Volatilidade relativa constante
- O que o enunciado pede:
- Determinar, usando McCabe–Thiele, o número de pratos necessários para a separação (número de pratos teóricos).
- Determinar os pratos onde devem entrar as cargas (as duas correntes de alimentação).
Passo 2
Breve “mini-aula” do método que vou usar (McCabe–Thiele) e fórmulas essenciais — explicando cada coisa de forma prática.
-
Equilíbrio líquido-vapor (para volatilidade relativa constante
em sistema binário): Aqui:-
é fração molar de componente mais volátil (A) na fase líquida, -
é fração molar de A na fase vapor, -
é a volatilidade relativa (aqui dado constante).
Essa expressão relaciona a composição do líquido com a do vapor em equilíbrio (curva de equilíbrio usada no McCabe–Thiele).
-
-
Linha de operação da seção retificadora (acima do ponto de alimentação, com condensador total):
-
é o refluxo (razão refluxo/distilado), -
é a composição do destilado.
A inclinação ée o intercepto é .
-
-
Linha de operação da seção de base (stripping): passa pelo ponto de alimentação (interseção com a
-line) e pelo ponto de fundo . Para montar a linha de stripping basta conhecer: - o ponto de interseção com a q-line (no nosso caso
então a q-line é horizontal), - o ponto de fundo, normalmente
.
- o ponto de interseção com a q-line (no nosso caso
-
Posição de alimentação (q-line): para alimentação como vapor saturado
, a q-line é horizontal . -
Refluxo mínimo
(caso prático e direto para ): quando a linha de operação retificadora corta a q-line exatamente no ponto de equilíbrio (pinch), pode-se calcular encontrando o ponto tal que e então (Derivação: a linha que ligae é a reta retificadora no ponto de refluxo mínimo.) -
Contagem de pratos (McCabe–Thiele): a contagem gráfica (ou por passos numéricos) é feita alternando horizontais (equilíbrio:
) e verticais (linha de operação) a partir de até . Cada “passo” horizontal+vertical corresponde a uma bandeja teórica.
Agora que temos as fórmulas, vou aplicá‑las passo a passo com os números do problema.
Passo 3
Determinar o ponto de equilíbrio associado ao fundo e checagens numéricas iniciais.
- Curva de equilíbrio (com
): - No fundo temos
. O correspondente em equilíbrio no fundo é (Esse ponto será usado para definir a linha de stripping.)
Passo 4
Calcular o refluxo mínimo
para alimentação como vapor saturado (
).
- Primeiro encontro
tal que . Ou seja resolver Resolvendo:
- Agora aplico a fórmula para
:
Portanto
.
Passo 5
Calcular
efetivo usado no projeto e montar as linhas de operação.
-
Refluxo proposto:
-
Retificadora: coeficiente angular e interceptoLogo a reta retificadora é
-
A interseção da reta retificadora com a q-line horizontal
define o ponto de alimentação (composição líquida no ponto de alimentação): (Esseé a composição líquida no ponto de alimentação se a alimentação fosse única combinada.) -
Agora determino a reta de stripping: ela passa por
e por .
A inclinação da stripping:Intercepto:Reta de stripping:
Resumo das equações usadas no McCabe–Thiele numérico:
- Curva de equilíbrio:
. - Retificadora:
. - Stripping:
. - q-line:
(horizontal).
Passo 6
Contagem de pratos pelo método de McCabe–Thiele (passo a passo numérico). Vou fazer as iterações (cada iteração horizontal até a curva de equilíbrio e vertical até a linha de operação correspondente). Cada par (horizontal + vertical) conta como 1 prato teórico. Começo no topo com
.
-
De
horizontalmente até a curva de equilíbrio: resolvo . Depois desço verticalmente até a reta retificadora:(1 prato) -
Horizontal até equilíbrio: resolver
→ .
Vertical até retificadora:
(2 pratos) -
Equilíbrio para
→ .
Retificadora:
(3 pratos) -
Equilíbrio para
→ .
Retificadora:
(4 pratos) -
Equilíbrio para
→ .
Retificadora:
(5 pratos)
Repare que após 5 pratos a linha retificadora leva a
, muito próximo de
. Ou seja, estamos praticamente na região da alimentação: portanto há 5 pratos na seção retificadora antes do(s) ponto(s) de alimentação. Em outras palavras, a alimentação combinada cairia aproximadamente na posição após 5 pratos (logo, o ponto de alimentação está na vizinhança do 5.º prato contando de cima).
Agora troco para a linha de stripping (entramos na seção de baixo do ponto de alimentação) e continuo os passos até o
:
A partir do ponto líquido
(na etapa acima), aplico a stripping:
-
Vertical até stripping:
.
Horizontal até equilíbrio→ .
(6.º prato total) -
Stripping vertical:
.
Equilíbrio:→ .
(7.º prato) -
→ equilíbrio .
(8.º prato) -
→ equilíbrio .
(9.º prato) -
→ equilíbrio .
(10.º prato) -
→ equilíbrio .
(11.º prato) -
→ equilíbrio .
(12.º prato) -
→ equilíbrio .
(13.º prato) -
→ equilíbrio .
(14.º prato) -
→ equilíbrio .
(15.º prato) -
→ equilíbrio .
(16.º prato) -
→ equilíbrio .
(17.º prato) -
→ equilíbrio .
(18.º prato)
Em mais um pequeno passo numérico chegaríamos praticamente a
. Portanto a contagem estabiliza próxima a 18 pratos teóricos.
Conclusão desta contagem numérica: número total de pratos teóricos (contando desde o topo até o fundo, excluindo o condensador total) necessário para a separação com
é aproximadamente
Observações interpretativas:
- Foram obtidos aproximadamente
pratos na seção retificadora (acima do(s) ponto(s) de alimentação) e cerca de pratos na seção stripper (abaixo do(s) ponto(s) de alimentação), totalizando . - Essa contagem é feita em passos ideais (pratos teóricos), supondo overflow molar constante, curva de equilíbrio dada e sem perdas. Em projeto real inseriria fatores de eficiência, folgas, etc.
Passo 7
Determinar as posições das duas correntes de alimentação (os “pratos das cargas”).
Explicação do raciocínio didático: como há duas correntes que originalmente vinham como líquidos com composições diferentes (
e
), e a proposta é alimentá‑las como vapor direto (ou seja, vaporizar antes de entrar), o vapor de cada alimentação terá a composição dada pela curva de equilíbrio correspondente à sua composição líquida original (vapor saturado em equilíbrio com líquido saturado). Para cada líquida
o vapor de alimentação terá
Calculo desses
:
- Para
: - Para
:
Como regra prática de projeto (e também pelo comportamento observado no McCabe–Thiele), o alimento mais rico em componente volátil deve entrar mais perto do topo (acima do alimento mais pobre), isto é, a alimentação mais rica entra numa bandeja mais alta. Para posicionar os dois alimentadores utilizamos os passos que fizemos no McCabe–Thiele: durante a contagem observei onde as composições líquidas nos pratos passam por valores próximos a
e
(para correspondência com as composições líquidas originais) — isso indica onde, ao injetar cada alimentação (vapor), o vapor entrante estará em melhores condições de se integrar ao perfil da coluna.
Na contagem feita (listagem de
em cada prato a partir do topo) obtive aproximadamente:
- após 2 pratos:
(mais alto), - após 3 pratos:
, - após 4 pratos:
.
Portanto:
- A alimentação com
(a mais rica) é melhor colocada entre o 2.º e o 3.º prato (mais perto do topo). Pela aproximação dos pontos, posicionamento prático: no 3.º prato (contando de cima). - A alimentação com
(a menos rica) é melhor colocada ao redor do 4.º prato (contando de cima), pois o líquido nesse nível ficou .
Outra maneira de dizer (simples e prática para projeto preliminar):
- Colocar a corrente com
A no 3.º prato a partir do topo. - Colocar a corrente com
A no 4.º prato a partir do topo.
Justificativa curta: o fluxo de vapor introduzido por cada alimentação mistura‑se melhor quando o seu conteúdo de A (como vapor) é compatível com as composições locais da coluna; o alimentador mais rico vai mais acima.
Passo 8
Resumo final, checando coerência com os dados (números arredondados para projeto preliminar):
-
. - Foi adotado
(igual a ). - Contagem pelo McCabe–Thiele com
e deu - Posicionamento das duas correntes de alimentação (proposta prática):
- Alimentação com
(60 mol% A) → inserir no 3.º prato a partir do topo. - Alimentação com
(40 mol% A) → inserir no 4.º prato a partir do topo.
- Alimentação com
Dica de incentivo: ficou grande o desenvolvimento, mas a ideia central é essa — com esses passos você já tem o essencial para transformar em desenho/diagrama e eventualmente ajustar com eficiências reais e margem de segurança.
Resposta
Número de pratos teóricos ≈ 18
Prato da alimentação com 60 mol% A: 3.º prato (contando de cima)
Prato da alimentação com 40 mol% A: 4.º prato (contando de cima)