No processo de produção da acetona, uma das etapas é a separação da acetona do ácido acético. É proposto que esta separação seja realizada através de um processo de destilação em batelada a pressão atmosférica, em coluna de pratos. A coluna deverá ser equipada com condensador total, 04 pratos com borbulhadores, tanque de vaporizações equivalentes a 01 estágios teóricos e o refluxo é líquido saturado, operando com variação da vazão do refluxo. A carga consiste de 65 \% molar de acetona e 35 \% de ácido acético, líquida saturada. É necessário recuperar 90 \% molar da acetona da carga com pureza de 95 \% molar. O holdup deve ser negligenciado e o refluxo interno pode ser considerado constante. Determine a \mathrm{R}_{\mathrm{R}} final, a composição do líquido remanescente no vaporizador e indique como calcularia o tempo de batelada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras (vou listar tudo de maneira direta para a gente não se perder):
  • Carga (líquido saturado): \,65\% molar de acetona (componente leve, L) e \,35\% molar de ácido acético (componente pesado, H).
    Vou usar uma base de 1 mol de carga para facilitar contas (qualquer base lineariza).
  • Objetivo de recuperação: recuperar 90\% molar da acetona presente na carga.
  • Pureza do destilado requerida: 95\% molar de acetona no destilado (ou seja, x_D = 0{,}95).
  • Coluna: pressão atmosférica, condensador total, 4 pratos com borbulhadores + tanque de vaporização equivalente a 1 estágio teórico → total de N = 4 + 1 = 5 estágios teóricos na cadeia de separação (vou considerar N=5 para propósito de dimensionamento de estágios).
  • Holdup negligenciado; refluxo interno pode ser considerado constante localmente, mas o enunciado menciona operação com variação da vazão do refluxo (ou seja, refluxo pode ser controlado durante a batelada).
O que é pedido:
  1. Determinar \mathrm{R}_{\mathrm{R}} final (interpreto isto como o reflux ratio final requerido para manter a pureza desejada com o número de estágios disponíveis — se for outra definição, o procedimento é análogo; atenção: para obter numericamente \mathrm{R}_{\mathrm{R}} é necessário conhecer o equilíbrio vapor–líquido ou a volatilidade relativa).
  2. Determinar a composição do líquido remanescente no vaporizador (composição dos fundos ao final da operação, após recuperar 90\% da acetona).
  3. Indicar como calcular o tempo de batelada (ou seja, procedimento e fórmulas para estimar o tempo necessário para separar a quantidade requerida).
Observação importante (já aqui): para calcular numericamente um reflux ratio mínimo e o reflux ratio real necessário com o método Fenske–Underwood–Gilliland é imprescindível conhecer o equilíbrio VLE (curva y=f(x)) ou, ao menos, a volatilidade relativa média \alpha da acetona em relação ao ácido acético na pressão de operação. O enunciado não fornece dados de VLE nem \alpha; por isso eu vou:
  • calcular numericamente a composição do líquido remanescente (essa não precisa de \alpha, é só balanço de matéria), e
  • descrever passo a passo e com fórmulas como obter \mathrm{R}_{\mathrm{R}} se os dados de equilíbrio forem fornecidos (ou como proceder na prova se você tiver a curva VLE ou \alpha).
    Também explicarei como calcular o tempo de batelada (com as fórmulas e explicações didáticas).

Passo 2

Calcular a composição do líquido remanescente no vaporizador (fundos) a partir do balanço de matéria da acetona (com base 1 mol de carga).
  • Base: W_0 = 1 mol total de carga.
  • Mols de acetona na carga: \;n_{L,0} = 0{,}65\cdot W_0 = 0{,}65 mol.
  • Recuperar 90\% da acetona → mols de acetona recuperados em destilado: n_{L,\text{rec}} = 0{,}90\cdot 0{,}65 = 0{,}585\\ \text{mol}.
  • Destilado deve ter pureza \;x_D = 0{,}95 (molar de acetona no destilado). Então o total de moles de destilado D (moles totais de produto retirado) é dado por balanço da acetona: D = \frac{n_{L,\text{rec}}}{x_D} = \frac{0{,}585}{0{,}95} = 0{,}615789\ldots \\ \text{mol}.
  • Portanto o número de mols que permanece no vaporizador (fundos) é W = W_0 - D = 1 - 0{,}615789\ldots = 0{,}3842105\ldots \\ \text{mol}.
  • A quantidade de acetona que ficou nos fundos é a carga inicial menos o recuperado: n_{L,\text{fundos}} = 0{,}65 - 0{,}585 = 0{,}065\\ \text{mol}.
  • Assim a fração molar de acetona nos fundos (componente leve no líquido remanescente) é x_B = x_W = \frac{n_{L,\text{fundos}}}{W} = \frac{0{,}065}{0{,}3842105\ldots} = 0{,}1692307\ldotsou seja, aproximadamente 16{,}92\% molar de acetona nos fundos. (O resto, 83{,}08\%, é ácido acético.)
Interpretação prática (para a prova): este resultado foi obtido só com balanço de matéria (não precisei de dados de equilíbrio). Ele mostra que, para recuperar 90\% da acetona com destilado a 95\%, vai sobrar nos fundos cerca de x_B \approx 0{,}1692 de acetona.

Passo 3

Como determinar o reflux ratio final \mathrm{R}_{\mathrm{R}} (passo-a-passo que você deve saber aplicar na prova).
Vou explicar o método clássico (Fenske–Underwood–Gilliland), o que cada equação significa e como usar os dados de equilíbrio quando você os tiver. Não salto etapas.
  1. Objetivo: Para uma coluna com número de estágios teórico conhecido N (aqui N=5), saber qual reflux ratio R (reflux molar: R = L/D, razão do refluxo líquido sobre a vazão de destilado) é necessário para obter a pureza do destilado x_D com um fundo de composição x_B. Existem três passos clássicos:
    • Calcular o número de estágios mínimo N_{\min} em refluxo total (Fenske).
    • Calcular o refluxo mínimo R_{\min} (Underwood).
    • Usar correlação de Gilliland para relacionar N, N_{\min}, R e R_{\min} e assim obter R.
  2. Fenske (número de estágios mínimo em refluxo total): para mistura binária ideal com volatilidade relativa média \alpha constante, a fórmula é
    N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln \alpha}.
    • Aqui x_D é a fração molar do componente leve no destilado ( 0{,}95), x_B é a fração molar do leve nos fundos (o x_B que calculamos: 0{,}16923).
    • \alpha é a volatilidade relativa da acetona em relação ao ácido acético (isto é, \alpha = K_L/K_H ou, para ideal simples, razão das pressões de vapor a T de ebulição). É o dado de equilíbrio que o enunciado não deu. Sem \alpha numérica, N_{\min} não pode ser avaliado numericamente.
    • Interpretação: N_{\min} é quantos estágios seriam necessários se o refluxo fosse infinito (refluxo total). Se o N real da coluna for maior que N_{\min}, a separação é possível com refluxo finito.
  3. Underwood (refluxo mínimo R_{\min}): para mistura com componentes i e frações molares z_i na alimentação, define-se um parâmetro \theta que satisfaz a equação de Underwood
    \sum_{i} \frac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1,
    e então
    R_{\min} = \sum_{i} \frac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} - 1,
    onde na mistura binária i toma dois valores (acetona e ácido acético) e z_i é a composição de alimentação (aqui z_{\text{acetona}}=0{,}65). Para o caso binário essas equações simplificam, mas ainda precisam de \alpha. Em termos práticos: depois de resolver a equação de Underwood para \theta (numérica), obtém-se R_{\min}. Sem \alpha numérico, não dá para calcular R_{\min}.
  4. Gilliland (obter R para número de estágios finito N): a correlação empírica de Gilliland relaciona a fração escalonada de estágios com a fração escalonada de refluxo:
    Y = 1 - \exp\!\Big( \frac{1+54.4X}{11+117.2X} \cdot X \Big),
    onde
    X=\frac{N - N_{\min}}{N + 1},\qquad Y=\frac{R - R_{\min}}{R + 1}.
    Dado N e N_{\min} e R_{\min}, resolve-se para Y (usando a fórmula inversa numericamente ou tabelas/curvas) e daí obtém-se R. Novamente: precisa de \alpha para N_{\min} e R_{\min}.
Resumo do procedimento prático que você deve aplicar na prova (quando tiver a curva VLE ou \alpha):
  • Calcule x_B a partir do requisito de recuperação (feito no Passo 2).
  • Obtenha a volatilidade relativa média \alpha ou a curva y=f(x) para a pressão de operação.
  • Use Fenske para N_{\min}. Compare com N=5.
  • Use Underwood para R_{\min}.
  • Use Gilliland para obter R (o reflux ratio) para N=5. Esse R é o reflux ratio requerido para produzir o destilado x_D e os fundos x_B com aquele número de estágios.
Observação didática e comportamento do refluxo em batelada:
  • Em batelada normalmente se opera em duas etapas: “enriquecimento” (alto refluxo ou até refluxo total) para estabelecer a direção de separação e depois coleta do destilado com refluxo finito que mantém x_D desejado. Ao final do batelada (quando a fração de líquido no vaporizador fica baixa ou a composição do líquido aproxima-se de um valor que tornaria impossível manter x_D), o reflux ratio necessário para manter x_D pode aumentar muito. Portanto, na prática em batelada costuma-se variar R (diminuir) seguindo uma estratégia de controle. O valor numérico “final” de R para manter exatamente x_D até o final só pode ser dado com os dados de equilíbrio (ou será muito grande se se tenta manter x_D até um ponto onde x_W fica próximo de x_D).

Passo 4

Exemplo ilustrativo (opcional, para fixar a ideia): se o enunciado te der \alpha constante, digamos \alpha=3 (apenas exemplo didático — NÃO é o valor real para acetona/ácido acético, estou só mostrando o procedimento numérico), então você faria:
  • Calcular N_{\min} via Fenske com x_D=0{,}95 e x_B=0{,}16923.
  • Resolver Underwood para R_{\min}.
  • Aplicar Gilliland com N=5 para obter R.
    No cartão da prova você faria essas contas passo a passo (logaritmos, somas e resolução numérica). Como o enunciado real não me forneceu \alpha, eu não apresento aqui um número inventado para \mathrm{R}_{\mathrm{R}}.

Passo 5

Como calcular o tempo de batelada (procedimento prático; o que perguntar/usar na prova):
  1. Defina as variáveis de operação que você conhece/assume:
    • vazão molar de ebulição (boil-up) \;V em \mathrm{mol/s} (ou vazão mássica e converter para mol/s),
    • ou potência de reaquecimento/reator \dot{Q} (em W) e calor latente \Delta H_{\text{vap}} (em J/mol) de mistura aproximada — daí V \approx \dot{Q}/\Delta H_{\text{vap}} (se desprezar troca de calor perdas e calor das correntes),
    • reflux ratio R durante o período de coleta (pode ser constante por etapas ou variar no tempo).
  2. Relação entre vazões no topo (para refluxo líquido saturado e conden-sador total):
    • Com razão de refluxo R = L/D (L = refluxo molar, D = destilado molar), a vazão de destilado é \dot{D} = \frac{V}{1+R}se o boil-up V for constante e desprezarmos perdas e holdup (a lógica: do vapor V que sobe ao condensador, L=RV/(1+R) retorna como refluxo e D=V/(1+R) é o que sai). Essa relação vale para regime onde V é praticamente constante.
    • Se R varia no tempo R(t), então a vazão instantânea de destilado é \dot{D}(t)=V/(1+R(t)) (assumindo V constante). Se V também varia, precisa conhecer ambos.
  3. Tempo para recuperar a quantidade requerida de destilado:
    • Quantidade total de destilado necessária (mols) é D (calculada no Passo 2; na base 1 mol: D=0{,}615789 mol).
    • Com \dot{D} constante, o tempo de batelada é t = \frac{D}{\dot{D}} = \frac{D(1+R)}{V}.
    • Se R(t) e/ou V(t) variam, integra-se: t = \int_{0}^{t} dt = \int_{0}^{D} \frac{dD}{\dot{D}(t)} = \int_{0}^{D} \frac{1+R(t)}{V(t)} \, dD,ou, escrevendo em termos de D: t = \int_{0}^{D} \frac{1+R(D)}{V(D)} \, dD,o que precisa de um modelo de como R e V variam com o tempo (ou com a composição do reboiler).
  4. Relação prática com energia:
    • Se você conhece a potência disponível \dot{Q} e um valor médio de entalpia de vaporização \Delta H_{\text{vap}} (J/mol), uma estimativa do boil-up molar é V \approx \frac{\dot{Q}}{\Delta H_{\text{vap}}}.
    • Substitua em t = D(1+R)/V para obter t em segundos (ou horas).
    • Em situação real, deve-se considerar também calor sensível, variação de composições, eficiência do reboiler, holdups, e possíveis paradas para ajustes; na prova, normalmente aceita-se a aproximação com V=\dot{Q}/\Delta H_{\text{vap}} e R constante (ou por etapas).

Passo 6

Resumo prático e dicas para a prova (pontos concretos para anotar no caderno antes da resposta final):
  • Com base 1 mol: você já tem D e W e, portanto, x_B (feito). Isso é sempre a primeira coisa a checar.
  • Para obter \mathrm{R}_{\mathrm{R}} numericamente: peça a curva VLE (ou \alpha). Sem isso, apenas descreva e aplique Fenske → Underwood → Gilliland. Explique na prova que não é possível dar um número sem VLE.
  • Para tempo: peça ou estime V (ou \dot{Q} e \Delta H_{\text{vap}}) e aplique t = D(1+R)/V (ou a integral se R variar).

Resposta

R_R final: não é possível determinar numericamente sem dados de equilíbrio (curva VLE ou \alpha); proceder via Fenske (para N_{\min}) → Underwood (para R_{\min}) → Gilliland (para R com N=5).\n
Composição do líquido remanescente no vaporizador (fundos): x_B = 0{,}16923 (fração molar de acetona), isto é aproximadamente 16{,}92\% molar de acetona.\n
Tempo de batelada: calcular a quantidade de destilado D (aqui D=0{,}615789 mol por mol de carga) e usar t = \dfrac{D(1+R)}{V} para refluxo constante e boil-up V conhecido; se R ou V variarem, integrar t=\displaystyle\int_{0}^{D}\frac{1+R(D)}{V(D)}\,\mathrm{d}D.

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