Uma corrente de ar V_{1} com vazáo de 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, umidade porcentual de 40 \% e temperatura de bulbo umido de 30^{\circ} \mathrm{C} passa inicialmente por um trocador de calor aonde é aquecida até 60^{\circ} \mathrm{C} (temperatura de bulbo seco). A corrente aquecida que sai do trocador de calor é então misturada com outra corrente de ar \mathrm{V}_{2}, com vazäo de 50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} e saturada a 60^{\circ} \mathrm{C} (temperatura de bulbo seco). Calcule:
a) a quantidade de calor fornecida no trocador de calor
b) a vazäo e a umidade da corrente V_{3} obtida após a mistura de V. aquecida e \mathrm{V}_{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara, sem resolver ainda):
  • Dados da corrente V_{1}:
    • Vazão volumétrica: V_{1}=100\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
    • Umidade relativa: 40\% (ou seja \varphi_{1}=0{,}40).
    • Temperatura de bulbo úmido: T_{w1}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Essa corrente é aquecida em um trocador até 60^\circ\mathrm{C} (temperatura de bulbo seco), sem alteração da quantidade de vapor d’água (aquecimento sensível).
  • Dados da corrente V_{2}:
    • Vazão volumétrica: V_{2}=50\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
    • Saturada a 60^\circ\mathrm{C} (ou seja \varphi_{2}=1{,}00 a T=60^\circ\mathrm{C}).
  • Condições de referência assumidas (padrão quando não especificado):
    • Pressão atmosférica: p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
    • Usarei as aproximações usuais da psicrometria: fórmula de Tetens para pressão de saturação e a constante psicrométrica calculada para p acima.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A quantidade de calor fornecida no trocador de calor (potência térmica ou energia por unidade de tempo).
    (b) A vazão e a umidade da corrente V_{3} depois da mistura da corrente aquecida V_{1} com V_{2}.

Passo 2

Plano de ataque (ferramentas matemáticas e físicas que vamos usar — explicadas de forma didática):
  • Para trabalhar com vapor e ar úmido precisamos das seguintes relações básicas da psicrometria:
    1. Pressão de saturação da água em função da temperatura (fórmula de Tetens, boa precisão para engenharia):
    p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\))}.
    Essa fórmula dá a pressão de vapor saturado a uma dada temperatura.
    1. A constante psicrométrica \gamma (usada na relação do bulbo úmido) é aproximadamente
    \gamma=\frac{c_{p}\,p}{0{,}622\,L_v},
    onde c_p é o calor específico do ar seco ( \approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}), p a pressão total em kPa e L_v o calor latente de vaporização ( \approx2501\\ \mathrm{kJ/kg}). Para p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} obteremos um valor numérico \gamma em kPa/ ^\circ\mathrm{C}.
    1. Relação entre pressão parcial de vapor, bulbo úmido e bulbo seco (aproximação do termômetro de bulbo úmido):
    p_v = p_{ws}(T_w)\;-\;\gamma\,(T_{db}-T_w),
    onde p_v é a pressão parcial do vapor na mistura, T_w é o bulbo úmido e T_{db} o bulbo seco. Essa equação vem do equilíbrio do bulbo úmido (evaporação no bulbo molhado).
    1. Umidade absoluta (razão de mistura, ou humidity ratio) w em \mathrm{kg\;vapor/kg\;ar\;seco}:
    w=\frac{0{,}622\,p_v}{p-p_v}.
    1. Entalpia específica do ar úmido (por kg de ar seco), aproximada por:
    h = 1{,}006\,T_{db} \;+\; w\,(2501 + 1{,}86\,T_{db})\quad\text{(kJ/kg, com \(T_{db}\) em \(^\circ\mathrm{C}\))}.
    Explicação: o ar seco contribui com 1{,}006\,T (kJ/kg) e o vapor com latente + calor sensível do vapor.
    1. Conservação de massa seca do ar na mistura: as vazões de ar seco se somam; a massa de vapor também se conserva.
    2. Conversões de vazão volumétrica para massa: usaremos a equação do gás ideal para a porção do ar seco:
    \dot m_{d}=\frac{p_{d}\,\dot V}{R_d\,T},
    onde p_d=p-p_v é a pressão parcial do ar seco (Pa), \dot V a vazão volumétrica (m^3/s), R_d=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\,K)} e T temperatura absoluta (K). (Explicação: aplicamos PV= m R T ao ar seco.)
  • Com essas ferramentas iremos:
    1. Determinar T_{db1} (temperatura seca inicial) a partir de \varphi_{1} e T_{w1} resolvendo a equação da bulbo úmido com a saturação (numérica, mas eu mostro o processo).
    2. Calcular p_v e w_1 da corrente V_1.
    3. Calcular massa de ar seco de V_1 e energia necessária para aquecer até 60^\circ\mathrm{C}.
    4. Calcular w_2 (saturado a 60^\circ\mathrm{C}), massa de ar seco de V_2.
    5. Misturar: conservação de massa seca e de massa de vapor para obter w_3 e vazão volumétrica V_3 às condições finais de 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Cálculo passo a passo do estado inicial da corrente V_{1} (determinar T_{db1}, p_{v1}, w_1):
  • Primeiro calculemos a pressão de saturação a T_{w1}=30^\circ\mathrm{C} usando Tetens:
    p_{ws}(30)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot30}{30+237{,}3}\right)\approx4{,}243\\ \mathrm{kPa}.
  • Calculemos a constante psicrométrica \gamma (com c_p\approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} e L_v\approx2501\\ \mathrm{kJ/kg}):
    \gamma=\frac{1{,}005\cdot101{,}325}{0{,}622\cdot2501}\approx0{,}0655\\ \mathrm{kPa/^\circ C}.
    (Interpretação: para cada grau entre bulbo seco e bulbo úmido a pressão de vapor efetiva desloca-se em cerca de 0{,}0655\\ \mathrm{kPa}.)
  • Use a relação do bulbo úmido/umidade relativa para encontrar T_{db1}. A umidade relativa é
    \varphi_1=\frac{p_v}{p_{ws}(T_{db1})},
    e pela equação do bulbo úmido
    p_v = p_{ws}(T_w) - \gamma\,(T_{db1}-T_w).
    Substituindo e rearranjando obtemos a equação não linear
    0{,}40\;p_{ws}(T_{db1}) = p_{ws}(30) - \gamma\,(T_{db1}-30).
    Resolver numericamente (faço iterações simples) dá:
    T_{db1}\approx42{,}72^\circ\mathrm{C}.
  • Agora p_{v1}=\varphi_1\,p_{ws}(T_{db1}). Calculando com p_{ws}(42{,}72^\circ\mathrm{C}) (pela Tetens) e \varphi_1=0{,}40, obtemos:
    p_{v1}\approx3{,}41\\ \mathrm{kPa}.
  • A umidade absoluta (razão de mistura) w_1 é
    w_1=\frac{0{,}622\,p_{v1}}{p-p_{v1}}=\frac{0{,}622\cdot3{,}41}{101{,}325-3{,}41}\approx0{,}02166\\ \mathrm{kg/kg}.
    (Equivalente a 21{,}66\\ \mathrm{g\;vapor/kg\;ar\;seco}.)

Passo 4

Cálculo da vazão de ar seco em V_{1} (conversão de vazão volumétrica para massa de ar seco):
  • Convertemos V_{1} para m^3/s:
    \dot V_{1}=\frac{100}{3600}=0{,}0277778\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • A pressão parcial do ar seco é p_{d1}=p-p_{v1}=101{,}325-3{,}41=97{,}915\\ \mathrm{kPa}=97{,}915\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Use a equação do gás para o ar seco:
    \dot m_{d1}=\frac{p_{d1}\,\dot V_{1}}{R_d\,T_1},
    onde R_d=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\,K)} e T_1=T_{db1}+273{,}15=315{,}87\\ \mathrm{K}.
    Substituindo:
    \dot m_{d1}\approx\frac{97{,}915\cdot10^{3}\cdot0{,}0277778}{287{,}058\cdot315{,}87}\approx0{,}0300\\ \mathrm{kg/s}.
    Em unidade horária: \dot m_{d1}\approx0{,}0300\cdot3600\approx108{,}0\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Quantidade de calor fornecida no trocador (processo de aquecimento sensível do ar úmido, sem troca de massa de vapor):
  • Quando o ar é aquecido sem adicionar/remover vapor, w permanece constante. A entalpia específica por kg de ar seco é
    h = 1{,}006\,T_{db} + w\,(2501+1{,}86\,T_{db})\quad\text{(kJ/kg)}.
  • Calculemos a entalpia antes ( h_1, em T_{db1}=42{,}72^\circ\mathrm{C}) e depois ( h_2, em T_{db2}=60^\circ\mathrm{C}) com w=w_1:
    h_1 = 1{,}006\cdot42{,}72 + 0{,}02166\bigl(2501 + 1{,}86\cdot42{,}72\bigr)\approx98{,}90\\ \mathrm{kJ/kg},
h_2 = 1{,}006\cdot60 + 0{,}02166\bigl(2501 + 1{,}86\cdot60\bigr)\approx116{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Variação de entalpia por kg de ar seco:
    \Delta h = h_2-h_1 \approx116{,}96-98{,}90=18{,}06\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Potência térmica necessária (taxa de calor) é:
    \dot Q = \dot m_{d1}\,\Delta h \quad(\mathrm{kW},\\ \dot m_{d1}\\ \text{em kg/s}).
    Usando \dot m_{d1}\approx0{,}0300\\ \mathrm{kg/s}:
    \dot Q \approx0{,}0300\cdot18{,}06\approx0{,}5418\\ \mathrm{kW}.
    Em energia por hora:
    \dot Q\cdot3600 \approx0{,}5418\cdot3600\approx1{.}950{,}5\\ \mathrm{kJ/h}.
    (Interpretação: para aquecer a corrente V_1 desse estado até 60^\circ\mathrm{C} são necessários cerca de 0{,}542\\ \mathrm{kW}, ou 1{.}950\\ \mathrm{kJ} por hora.)

Passo 6

Estado da corrente V_{2} (saturada a 60^\circ\mathrm{C}): calcular w_2 e vazão de ar seco \dot m_{d2}
  • Pressão de saturação a 60^\circ\mathrm{C}:
    p_{ws}(60)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot60}{60+237{,}3}\right)\approx19{,}945\\ \mathrm{kPa}.
  • Para ar saturado p_{v2}=p_{ws}(60). Então a razão de mistura é:
    w_2=\frac{0{,}622\,p_{v2}}{p-p_{v2}}=\frac{0{,}622\cdot19{,}945}{101{,}325-19{,}945}\approx0{,}1524\\ \mathrm{kg/kg}.
    (Ou 152{,}4\\ \mathrm{g/kg}.)
  • Calculemos a vazão de ar seco correspondente a V_{2}=50\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:
    \dot V_{2}=\frac{50}{3600}=0{,}0138889\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    A pressão parcial do ar seco é p_{d2}=p-p_{v2}=101{,}325-19{,}945=81{,}380\\ \mathrm{kPa}=81{,}380\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
    Temperatura absoluta T_2=60+273{,}15=333{,}15\\ \mathrm{K}.
    \dot m_{d2}=\frac{p_{d2}\,\dot V_{2}}{R_d\,T_2}\approx\frac{81{,}380\cdot10^{3}\cdot0{,}0138889}{287{,}058\cdot333{,}15}\approx0{,}01182\\ \mathrm{kg/s}.
    Em hora: \dot m_{d2}\approx0{,}01182\cdot3600\approx42{,}56\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Cálculo da mistura ( V_3): conservação de massa seca e vapor
  • Após o trocador V_1 está também a 60^\circ\mathrm{C}. A vazão volumétrica de V_1 muda com a elevação de temperatura; para um gás ideal a vazão volumétrica (à pressão constante) escala com T absoluto. Assim:
    \dot V_{1,\,60^\circ\mathrm{C}} = \dot V_{1,\,inicial}\frac{T_2}{T_1}.
    Aqui \dot V_{1,\,inicial}=100\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, T_1=42{,}72+273{,}15=315{,}87\\ \mathrm{K} e T_2=333{,}15\\ \mathrm{K}. Logo
    V_{1\text{ (a }60^\circ\mathrm{C})}\approx100\cdot\frac{333{,}15}{315{,}87}\approx105{,}48\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • A vazão volumétrica total V_3 na condição final 60^\circ\mathrm{C} é soma das vazões (agora ambas a 60^\circ\mathrm{C}):
    V_3 = 105{,}48 + 50 = 155{,}48\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Conservação de ar seco (as massas secas somam):
    \dot m_{d3}=\dot m_{d1}+\dot m_{d2}\approx0{,}0300+0{,}01182=0{,}04182\\ \mathrm{kg/s}.
  • Conservação da massa de vapor (kg/s):
    \dot m_{v3}=\dot m_{d1}\,w_1+\dot m_{d2}\,w_2.
    Calculando:
    \dot m_{v3}\approx0{,}0300\cdot0{,}02166 + 0{,}01182\cdot0{,}1524 \approx0{,}0024518\\ \mathrm{kg/s}.
  • Razão de mistura final w_3:
    w_3=\frac{\dot m_{v3}}{\dot m_{d3}}\approx\frac{0{,}0024518}{0{,}04182}\approx0{,}05864\\ \mathrm{kg/kg}.
    (Equivalente a 58{,}6\\ \mathrm{g\;vapor/kg\;ar\;seco}.)

Passo 8

Cálculo da umidade relativa final \varphi_3 (se o enunciado pedir “umidade” é útil apresentar tanto o w quanto \varphi):
  • A pressão parcial de vapor final p_{v3} é obtida invertendo a fórmula de w:
    p_{v3}=\frac{w_3\,p}{0{,}622+w_3}.
    Substituindo:
    p_{v3}\approx\frac{0{,}05864\cdot101{,}325}{0{,}622+0{,}05864}\approx8{,}732\\ \mathrm{kPa}.
  • A pressão de saturação a 60^\circ\mathrm{C} já calculada: p_{ws}(60)\approx19{,}945\\ \mathrm{kPa}. Logo a umidade relativa final:
    \varphi_3=\frac{p_{v3}}{p_{ws}(60)}\approx\frac{8{,}732}{19{,}945}\approx0{,}438\approx43{,}8\%.

Passo 9

Resumo numérico final dos resultados (valores arredondados com significado físico):
  • Potência térmica fornecida no trocador (aquecimento de V_1 de T_{db1}\approx42{,}72^\circ\mathrm{C} a 60^\circ\mathrm{C}):
    \dot Q \approx0{,}5418\\ \mathrm{kW}\approx1{.}950{,}5\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Vazão volumétrica da corrente V_3 após mistura (condições finais a 60^\circ\mathrm{C}):
    V_3 \approx155{,}48\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Umidade da corrente V_3:
    • Razão de mistura (umidade absoluta): w_3\approx0{,}05864\\ \mathrm{kg/kg} (ou 58{,}6\\ \mathrm{g/kg}).
    • Umidade relativa à 60^\circ\mathrm{C}: \varphi_3\approx43{,}8\%.

Resposta

(a) \dot Q \approx0{,}5418\\ \mathrm{kW} \approx1{.}950{,}5\\ \mathrm{kJ/h}
(b) V_3 \approx155{,}48\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}
w_3 \approx0{,}05864\\ \mathrm{kg/kg} ( \approx58{,}6\\ \mathrm{g/kg}), \varphi_3 \approx43{,}8\%

Exercícios relacionados