Creme de leite (4,5 % de carboidratos, 1,5 % de proteínas e 17,4 % de gorduras) deve ser continuamente aquecido em um trocador de calor de tubo duplo operando em escoamento contracorrente, usando água quente a 97^{\circ} \mathrm{C} como fluido de serviço no ânulo com vazão de 1,40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. O diâmetro externo do tubo onde escoa o creme é 2,54 \mathrm{~cm} e a espessura da parede é de 2 mm . A vazão de creme é de 0,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, a sua temperatura de entrada é de 30^{\circ} \mathrm{C} e a sua temperatura de saída deve ser de 80^{\circ} \mathrm{C}. Adote como coeficiente global de troca térmica, com base na área externa, \mathrm{U}=600 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} (para trocador de calor limpo) e como fatores de incrustação \mathrm{R}_{\text {inc, } \mathrm{f}}=5 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{W} para o creme e \mathrm{R}_{\text {inc,q }}=2 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{W} para a água quente. Qual é o aumento percentual no comprimento do trocador de calor devido à introdução dos fatores de incrustação no projeto?
Qual é o aumento percentual teórico no comprimento do trocador de calor, após incrustação, para que ele continue operando com a mesma carga térmica? Percebam que o trocador não será efetivamente aumentado.

Passo 1

O enunciado nos dá (resumindo os dados relevantes que usaremos):
  • Coeficiente global de transferência térmica, para trocador limpo (com base na área externa): U_{\text{limpo}} = 600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Fatores de incrustação (resistências térmicas por unidade de área, na mesma base de área externa):
    • para o creme: R_{\text{inc,f}} = 5\times10^{-4}\\ {}^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{W},
    • para a água: R_{\text{inc,q}} = 2\times10^{-4}\\ {}^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{W}.
  • Diâmetro do tubo, vazões, temperaturas etc. (esses não são necessários para a conta percentual pedida, porque a razão entre áreas necessárias depende só de U limpo e U sujo).
    As perguntas são:
  1. Qual o aumento percentual no comprimento do trocador devido à introdução dos fatores de incrustação no projeto?
  2. Qual o aumento percentual teórico no comprimento do trocador, após incrustação, para que ele continue operando com a mesma carga térmica?

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicando devagar): o desempenho do trocador é determinado pelo coeficiente global de transferência térmica U. Incrustações formam resistências térmicas em série com as resistências já consideradas no projet. Quando se tem resistências em série, as resistências se somam; para coeficiente global isso se traduz por
\frac{1}{U_{\text{sujo}}}=\frac{1}{U_{\text{limpo}}}+R_{\text{fouling}},
onde R_{\text{fouling}} é a soma das resistências de incrustação (expressas na mesma base de área do U). Essa fórmula vem da analogia com circuitos elétricos: resistência térmica total é soma das resistências; o inverso do coeficiente global é a resistência térmica total por unidade de área.

Passo 3

Calcular a resistência total de incrustação somando as duas fornecidas:
R_{\text{fouling}}=R_{\text{inc,f}}+R_{\text{inc,q}}=5\times10^{-4}+2\times10^{-4}=7\times10^{-4}\\ {}^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{W}.

Passo 4

Calcular U_{\text{sujo}} usando a relação do passo 2. Primeiro escrevendo 1/U_{\text{limpo}}:
\frac{1}{U_{\text{limpo}}}=\frac{1}{600}=1,666\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Somando R_{\text{fouling}}:
\frac{1}{U_{\text{sujo}}}=\frac{1}{600}+7\times10^{-4}=\frac{1}{600}+0,0007.
Uma forma rápida de simplificar: 0{,}0007\times600=0{,}42, então
\frac{1}{U_{\text{sujo}}}=\frac{1+0{,}42}{600}=\frac{1{,}42}{600}.
Portanto
U_{\text{sujo}}=\frac{600}{1{,}42}=422{,}535211\ldots\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Relação entre área (ou comprimento) e U: para uma mesma carga térmica Q e o mesmo LMTD, a área requerida satisfaz
Q = U\,A\,\Delta T_{\text{efetiva}} \quad\Rightarrow\quad A \propto \frac{1}{U}.
Se o trocador tem a mesma geometria de tubos, a área externa total é proporcional ao comprimento total dos tubos; logo a variação percentual no comprimento é igual à variação percentual na área.

Passo 6

Calcular o aumento percentual necessário em área/comprimento para manter Q fixo quando U cai de U_{\text{limpo}} para U_{\text{sujo}}. A razão das áreas é
\frac{A_{\text{sujo}}}{A_{\text{limpo}}}=\frac{U_{\text{limpo}}}{U_{\text{sujo}}}=\frac{600}{422{,}535211\ldots}=1{,}42.
O aumento percentual é
\left(\frac{A_{\text{sujo}}}{A_{\text{limpo}}}-1\right)\times100\%=(1{,}42-1)\times100\%=42\%.

Passo 7

Interpretação final e resposta às duas perguntas:
  • Introduzir os fatores de incrustação no projeto (isto é, projetar já considerando as resistências) exige aumentar área/comprimento em 42\% comparado ao projeto limpo.
  • Se o trocador for projetado limpo e depois, após incrustação, quisermos teoricamente recuperar a mesma carga térmica, teríamos que aumentar área/comprimento em 42\% (na prática não se aumenta o trocador, mas teoricamente é o percentual necessário).

Resposta

42\%
42\%

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