Deseja-se secar um material na forma de placas com dimensões de 2,5 \mathrm{~m} \times 1,5 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~cm} em um secador descontínuo utilizando ar com temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C} e umidade de 0,014 \mathrm{~kg} água/ kg ar seco. O ar escoa paralelo à superficie de secagem que ocorre pelas faces inferior superior e a massa de sólido seco é de 40 kg . A umidade inicial do sólid é de 0,7 \mathrm{~kg} água / \mathrm{kg} mat. úmido e para as condições utilizadas a umidad de equilibrio é 0,091 \mathrm{~kg} água/kg mat. úmido e a umidade crítica 0,48 \mathrm{k} água/kg mat. úmido. Para este sólido o periodo de velocidade secagem decrescente divide-se em dois: o primeiro é linear com umida do sólido em base seca. De estudos anteriores sabe-se que esse perio termina com umidade do sólido de 0,23 \mathrm{~kg} águal kg mat. úmido velocidade de secagem de 0,7 \mathrm{~kg} /\left(\mathrm{hm}^{2}\right). O segundo periodo decresce apresenta comportamento de sólidos nāo porosos no qual a equaçāo difusão representa bem o processo. A difusividade da umidade no só é 9 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h}.
Dados: Coeficiente de transferência de massa entre a interface ar-s saturado e corrente gasoso =9,78 \times 10^{-4} \mathrm{~kg}\left(\mathrm{~h} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~Pa}\right). Pede-se:
a) Qual a umidade do sólido após 3 horas de secagem?
b) Se a umidade do ar for alterada para 0,006 \mathrm{~kg} agua/kg a mantendo-se a mesma temperatura de bulbo seco, umidade do sólido após 6 h de secagem?
OBS. Considere que as possiveis alterações nos coeficiente umidades de equilibrio e critica e condições do término do periodo de velocidade decrescente ( X e R ) sảo despreziveis p nova condição.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que vou usar está aqui).
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Dimensões da placa: 2{,}5\\ \mathrm{m}\times1{,}5\\ \mathrm{m}\times0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • O ar escoa paralelo às faces de secagem; a secagem ocorre pelas faces superior e inferior.
  • Massa de sólido seco: M_s=40\\ \mathrm{kg}.
  • Umidade inicial do sólido (base matéria úmida): X_{0,w}=0{,}7\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ wet\\ solid}.
  • Umidade de equilíbrio (base matéria úmida): X_{e,w}=0{,}091\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ wet\\ solid}.
  • Umidade crítica (base matéria úmida): X_{c,w}=0{,}48\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ wet\\ solid}.
  • O período de velocidade decrescente divide-se em dois subperíodos:
    • Primeiro subperíodo (entre X_c e X=0{,}23 kg água/kg mat. úmido) com comportamento linear em função da umidade em base seca.
    • Ao final desse primeiro subperíodo a umidade é X_{1end,w}=0{,}23\\ \mathrm{kg/kg\\ wet} e a velocidade de secagem local (por unidade de área) vale N_{1end}=0{,}7\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2)}.
  • Difusividade efetiva da umidade: D=9\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/h}.
  • Coeficiente de transferência de massa entre a interface saturada e a corrente gasosa: k_c=9{,}78\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2\\ Pa)}.
  • Temperatura do ar: 60^\circ\mathrm{C} (vou usar a pressão de saturação da água a 60^\circ\mathrm{C}: p_{sat}(60^\circ\mathrm{C})\approx19946\\ \mathrm{Pa}).
  • Condição (a): umidade do ar w=0{,}014\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry\\ air}, tempo de secagem pedido t=3\\ \mathrm{h}.
  • Condição (b): umidade do ar w=0{,}006\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry\\ air}, temperatura mantida, tempo pedido t=6\\ \mathrm{h}.
  • Observação do enunciado: desprezar variações de X_e, X_c e do ponto de término do primeiro subperíodo ao mudar a umidade do ar.
O que se pede:
(a) Determinar a umidade do sólido após 3\\ \mathrm{h} para w=0{,}014.
(b) Repetir para w=0{,}006 e tempo 6\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Definições importantes e conversões de base (úmido ↔ seco). Explico porque converti: as equações de balanço e a difusão costumam ser mais simples em base seca (kg água/kg sólido seco). O enunciado dá muitas grandezas em base matéria úmida; convertendo para base seca fica mais consistente.
Relações entre bases:
X_d=\frac{X_w}{1-X_w},\qquad X_w=\frac{X_d}{1+X_d},
onde X_w é umidade em base matéria úmida (kg água/kg massa úmida) e X_d é umidade em base seca (kg água/kg sólido seco).
Converto os valores iniciais, crítico, fim do primeiro subperíodo e equilíbrio para base seca:
\begin{aligned} X_{0,d}&=\frac{0{,}7}{1-0{,}7}=\frac{0{,}7}{0{,}3}=2{,}3333\\ \mathrm{kg/kg\\ sec.},\\[4pt] X_{c,d}&=\frac{0{,}48}{1-0{,}48}=\frac{0{,}48}{0{,}52}=0{,}92308\\ \mathrm{kg/kg\\ sec.},\\[4pt] X_{1end,d}&=\frac{0{,}23}{1-0{,}23}=\frac{0{,}23}{0{,}77}=0{,}29870\\ \mathrm{kg/kg\\ sec.},\\[4pt] X_{e,d}&=\frac{0{,}091}{1-0{,}091}=\frac{0{,}091}{0{,}909}=0{,}10011\\ \mathrm{kg/kg\\ sec.}. \end{aligned}
Área de secagem (duas faces da placa):
\text{área de uma face }A_f=2{,}5\times1{,}5=3{,}75\\ \mathrm{m^2}.á
Como secagem em cima e embaixo, área total exposta
A=2A_f=7{,}5\\ \mathrm{m^2}.
Massa de água inicial (em kg) se precisar:
M_{w,0}=M_s\cdot X_{0,d}=40\times2{,}3333=93{,}333\\ \mathrm{kg}.]

Passo 3

Relação entre razão de mistura w (kg água/kg ar seco) e pressão parcial de vapor p_v. Vou usar a fórmula psicrométrica ideal:
w=\frac{0{,}622\,p_v}{p_{atm}-p_v}\quad\Longrightarrow\quad p_v=\frac{w\,p_{atm}}{0{,}622+w},
com p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}. Explico: essa fórmula vem da definição de razão de mistura e da relação entre pressão parcial e massa molar (constante 0,622).
Calculo de p_v para a condição (a) w=0{,}014:
p_{v,a}=\frac{0{,}014\times101325}{0{,}622+0{,}014} =\frac{1418{,}55}{0{,}636}=2230{,}2\\ \mathrm{Pa}.
Para a condição (b) w=0{,}006:
p_{v,b}=\frac{0{,}006\times101325}{0{,}622+0{,}006} =\frac{607{,}95}{0{,}628}=968{,}0\\ \mathrm{Pa}.
Pressão de saturação a 60^\circ\mathrm{C} que usei (valor tabelado):
p_{sat}(60^\circ\mathrm{C})\approx19946\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Determinar a taxa de evaporação na zona de taxa constante (controle externo) — fluxo de massa por área. Modelo usado: velocidade por área (kg/(h m^2)) dada por lei convectiva linear:
N=k_c\,(p_{sat}-p_v).
Isto vem de relacionar fluxo de massa com diferença de pressão parcial entre superfície saturada (vapor a p_{sat}) e vapor no ar.
Para (a) p_{v,a}=2230{,}2\\ \mathrm{Pa}:
N_a=k_c\,(p_{sat}-p_{v,a})=9{,}78\times10^{-4}\times(19946-2230{,}2)
=9{,}78\times10^{-4}\times17715{,}8\approx17{,}33\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2)}.
Para (b) p_{v,b}=968{,}0\\ \mathrm{Pa}:
N_b=9{,}78\times10^{-4}\times(19946-968{,}0) =9{,}78\times10^{-4}\times18978\approx18{,}57\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2)}.
Taxa total de água removida (kg/h) durante regime constante (duas faces):
\dot{M}=N\cdot A.
Para (a): \dot{M}_a=17{,}33\times7{,}5=129{,}98\\ \mathrm{kg/h}.
Para (b): \dot{M}_b=18{,}57\times7{,}5=139{,}28\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Tempo do período de taxa constante (desde X_0 até X_c). Balanço de massa de água:
M_s\,(X_0-X_c)=\dot{M}\,t_1\quad\Longrightarrow\quad t_1=\frac{M_s\,(X_0-X_c)}{\dot{M}}.
Usando os valores em base seca:
\Delta X_{0\to c}=X_{0,d}-X_{c,d}=2{,}3333-0{,}92308=1{,}41026.
Massa a remover nesse trecho:
M_s\Delta X_{0\to c}=40\times1{,}41026=56{,}4104\\ \mathrm{kg}.
Assim:
  • Para (a):
t_{1,a}=\frac{56{,}4104}{129{,}98}=0{,}4340\\ \mathrm{h}\approx26{,}04\\ \mathrm{min}.
  • Para (b):
t_{1,b}=\frac{56{,}4104}{139{,}28}=0{,}4052\\ \mathrm{h}\approx24{,}31\\ \mathrm{min}.
Comentário amigo: esses tempos são curtos porque o ar é seco e o coeficiente de transferência usado gera um grande fluxo externo; por isso rapidamente se chega à umidade crítica.

Passo 6

Primeiro subperíodo do regime de queda (entre X_c e X_{1end}): o enunciado diz que a velocidade por área varia linearmente com a umidade em base seca. Vou modelar
N(X)=aX+b,
onde X é a umidade em base seca. Conhecemos dois pontos para cada condição:
N(X_{c,d})=N\_const,\qquad N(X_{1end,d})=0{,}7\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2)}.
Com esses pontos determinamos a e b. Depois fazemos balanço diferencial:
M_s\,\frac{dX}{dt}=-N(X)\,A
e integramos de X_{c,d} até X_{1end,d} para obter t_2 (tempo do primeiro subperíodo).
Faço os cálculos numéricos:
Para (a):
\begin{aligned} a_a&=\frac{0{,}7-N_a}{X_{1end,d}-X_{c,d}} =\frac{0{,}7-17{,}33}{0{,}29870-0{,}92308} =\frac{-16{,}63}{-0{,}62438}=26{,}637\\ \mathrm{(kg/(h\\ m^2))/(kg/kg)}.\\\ b_a&=N_a-a_aX_{c,d}=17{,}33-26{,}637\times0{,}92308=-7{,}258\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2)}. \end{aligned}
Integrando:
\int_{X_{c,d}}^{X_{1end,d}}\frac{dX}{a_aX+b_a}=-\int_{0}^{t_{2,a}}\frac{A}{M_s}\,dt
\Rightarrow \frac{1}{a_a}\ln\!\left(\frac{a_aX+b_a}{a_aX_{c,d}+b_a}\right)\Bigg|_{X_{c,d}}^{X_{1end,d}}=-\frac{A}{M_s}t_{2,a}.
Assim (usando a_aX_{c,d}+b_a=N_a e a_aX_{1end,d}+b_a=0{,}7):
t_{2,a}=\frac{M_s}{A\,a_a}\ln\!\left(\frac{N_a}{0{,}7}\right).
Numérico:
\frac{M_s}{A\,a_a}=\frac{40}{7{,}5\times26{,}637}=0{,}20011\\ \mathrm{h},
\ln\!\left(\frac{17{,}33}{0{,}7}\right)=\ln(24{,}757)=3{,}210.
t_{2,a}=0{,}20011\times3{,}210=0{,}6423\\ \mathrm{h}\approx38{,}54\\ \mathrm{min}.
Tempo acumulado até o fim do primeiro subperíodo:
t_{1,a}+t_{2,a}=0{,}4340+0{,}6423=1{,}0763\\ \mathrm{h}\approx64{,}6\\ \mathrm{min}.
Para (b) repito:
a_b=\frac{0{,}7-N_b}{X_{1end,d}-X_{c,d}}=\frac{0{,}7-18{,}57}{-0{,}62438}=28{,}6219,
\frac{M_s}{A\,a_b}=\frac{40}{7{,}5\times28{,}6219}=0{,}18638\\ \mathrm{h},
\ln\!\left(\frac{N_b}{0{,}7}\right)=\ln\!\left(\frac{18{,}57}{0{,}7}\right)=\ln(26{,}53)=3{,}278.
t_{2,b}=0{,}18638\times3{,}278=0{,}6110\\ \mathrm{h}.
Tempo acumulado:
t_{1,b}+t_{2,b}=0{,}4052+0{,}6110=1{,}0162\\ \mathrm{h}.
Comentário: em ambas as situações o primeiro subperíodo do regime decrescente termina bem antes de 3 h ou 6 h, então haverá tempo para o segundo subperíodo (controlado por difusão).

Passo 7

Modelo do segundo subperíodo (difusão controlada) — explicação do método e fórmula usada.
Explicação didática curta: para um corpo em forma de placa (lâmina) de espessura 2L com secagem por ambas faces, se a difusão interna é o mecanismo controlante e as superfícies podem ser consideradas com concentração superficial aproximadamente constante (igual à umidade de equilíbrio correspondente ao vapor saturado na superfície), a solução média da equação de difusão para a concentração média ao longo do tempo tem uma série. Para tempos moderados o primeiro termo da série domina, e usamos a aproximação de um termo:
\mathrm{MR}(t)\equiv\frac{X(t)-X_e}{X_{init}-X_e}\approx\frac{8}{\pi^2}\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D t}{4L^2}\right),
onde:
  • X(t) é a umidade média em base seca no tempo t,
  • X_e é a umidade de equilíbrio em base seca,
  • X_{init} é a umidade de início do período difusivo (aqui X_{1end,d}),
  • D é a difusividade efetiva,
  • L é a meia-espessura do slab (metade da espessura total).
No nosso caso a espessura total é 0{,}10\\ \mathrm{m}, então L=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Constante da aproximação:
\frac{8}{\pi^2}\approx0{,}8106.

Passo 8

Aplicação numérica para a condição (a) — encontrar X após 3\\ \mathrm{h}.
Tempo disponível no período difusivo:
t_{diff,a}=t_{total}-\bigl(t_{1,a}+t_{2,a}\bigr)=3{,}000-1{,}0763=1{,}9237\\ \mathrm{h}.
Calcular o expoente:
\beta=\frac{\pi^2 D}{4L^2}=\frac{\pi^2\times9\times10^{-5}}{4\times(0{,}05)^2} =\pi^2\times0{,}009\approx0{,}088826\\ \mathrm{h^{-1}}.
Então
\mathrm{MR}(t_{diff,a})\approx0{,}8106\exp(-\beta t_{diff,a}) =0{,}8106\exp\big(-0{,}088826\times1{,}9237\big).
Cálculo:
-0{,}088826\times1{,}9237=-0{,}1708,\qquad \exp(-0{,}1708)=0{,}8429,
\mathrm{MR}(t_{diff,a})=0{,}8106\times0{,}8429=0{,}6833.
Umidade média em base seca no final:
X_{a}(3\\ \mathrm{h})=X_{e,d}+\mathrm{MR}\,(X_{1end,d}-X_{e,d}).
X_{a}(3\\ \mathrm{h})=0{,}10011+0{,}6833\times(0{,}29870-0{,}10011).
0{,}29870-0{,}10011=0{,}19859,
0{,}6833\times0{,}19859=0{,}1357,
X_{a}(3\\ \mathrm{h})=0{,}10011+0{,}1357=0{,}2358\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry}.
Converter para base matéria úmida (porque o enunciado deu w-basis originalmente):
X_{a,w}(3\\ \mathrm{h})=\frac{X_{a,d}}{1+X_{a,d}}=\frac{0{,}2358}{1+0{,}2358}=\frac{0{,}2358}{1{,}2358}=0{,}1909.
Arredondando com sentido prático: 0{,}191\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ wet}.

Passo 9

Aplicação numérica para a condição (b) — w=0{,}006 e tempo 6\\ \mathrm{h}.
Tempo até início do período difusivo já calc.: t_{1,b}+t_{2,b}=1{,}0162\\ \mathrm{h}.
Tempo disponível para difusão:
t_{diff,b}=6{,}000-1{,}0162=4{,}9838\\ \mathrm{h}.
Usamos a mesma constante \beta calculada antes ( 0{,}088826\\ \mathrm{h^{-1}}), porque D e L inalterados:
\mathrm{MR}(t_{diff,b})\approx0{,}8106\exp(-\beta t_{diff,b}) =0{,}8106\exp(-0{,}088826\times4{,}9838).
Cálculo:
-0{,}088826\times4{,}9838=-0{,}4429,\qquad \exp(-0{,}4429)=0{,}6423,
\mathrm{MR}(t_{diff,b})=0{,}8106\times0{,}6423=0{,}5211.
Umidade média em base seca após 6\\ \mathrm{h}:
X_{b}(6\\ \mathrm{h})=X_{e,d}+\mathrm{MR}\,(X_{1end,d}-X_{e,d}) =0{,}10011+0{,}5211\times0{,}19859.
0{,}5211\times0{,}19859=0{,}1035,
X_{b}(6\\ \mathrm{h})=0{,}10011+0{,}1035=0{,}2036\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry}.
Converter para base matéria úmida:
X_{b,w}(6\\ \mathrm{h})=\frac{0{,}2036}{1+0{,}2036}=\frac{0{,}2036}{1{,}2036}=0{,}1692.
Arredondando: 0{,}169\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ wet}.

Resposta

(a) 0{,}191\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ mat.\\ úmido}ú (após 3\\ \mathrm{h}, para w=0{,}014).
(b) 0{,}169\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ mat.\\ úmido}ú (após 6\\ \mathrm{h}, para w=0{,}006).

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