Deseja-se secar um material na forma de placas com dimensões de 2,5 \mathrm{~m} \times 1,5 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~cm} em um secador descontínuo utilizando ar com temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C} e umidade de 0,014 \mathrm{~kg} água/ kg ar seco. O ar escoa paralelo à superficie de secagem que ocorre pelas faces inferior superior e a massa de sólido seco é de 40 kg . A umidade inicial do sólid é de 0,7 \mathrm{~kg} água / \mathrm{kg} mat. úmido e para as condições utilizadas a umidad de equilibrio é 0,091 \mathrm{~kg} água/kg mat. úmido e a umidade crítica 0,48 \mathrm{k} água/kg mat. úmido. Para este sólido o periodo de velocidade secagem decrescente divide-se em dois: o primeiro é linear com umida do sólido em base seca. De estudos anteriores sabe-se que esse perio termina com umidade do sólido de 0,23 \mathrm{~kg} águal kg mat. úmido velocidade de secagem de 0,7 \mathrm{~kg} /\left(\mathrm{hm}^{2}\right). O segundo periodo decresce apresenta comportamento de sólidos nāo porosos no qual a equaçāo difusão representa bem o processo. A difusividade da umidade no só é 9 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h}.
Dados: Coeficiente de transferência de massa entre a interface ar-s saturado e corrente gasoso =9,78 \times 10^{-4} \mathrm{~kg}\left(\mathrm{~h} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~Pa}\right). Pede-se:
a) Qual a umidade do sólido após 3 horas de secagem?
b) Se a umidade do ar for alterada para 0,006 \mathrm{~kg} agua/kg a mantendo-se a mesma temperatura de bulbo seco, umidade do sólido após 6 h de secagem?
OBS. Considere que as possiveis alterações nos coeficiente umidades de equilibrio e critica e condições do término do periodo de velocidade decrescente ( X e R ) sảo despreziveis p nova condição.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que vou usar está aqui).
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
Dimensões da placa: 2{,}5\\ \mathrm{m}\times1{,}5\\ \mathrm{m}\times0{,}10\\ \mathrm{m}.
O ar escoa paralelo às faces de secagem; a secagem ocorre pelas faces superior e inferior.
O período de velocidade decrescente divide-se em dois subperíodos:
Primeiro subperíodo (entre X_c e X=0{,}23 kg água/kg mat. úmido) com comportamento linear em função da umidade em base seca.
Ao final desse primeiro subperíodo a umidade é X_{1end,w}=0{,}23\\ \mathrm{kg/kg\\ wet} e a velocidade de secagem local (por unidade de área) vale N_{1end}=0{,}7\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2)}.
Difusividade efetiva da umidade: D=9\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/h}.
Coeficiente de transferência de massa entre a interface saturada e a corrente gasosa: k_c=9{,}78\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/(h\\ m^2\\ Pa)}.
Temperatura do ar: 60^\circ\mathrm{C} (vou usar a pressão de saturação da água a 60^\circ\mathrm{C}: p_{sat}(60^\circ\mathrm{C})\approx19946\\ \mathrm{Pa}).
Condição (a): umidade do ar w=0{,}014\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry\\ air}, tempo de secagem pedido t=3\\ \mathrm{h}.
Condição (b): umidade do ar w=0{,}006\\ \mathrm{kg\\ water/kg\\ dry\\ air}, temperatura mantida, tempo pedido t=6\\ \mathrm{h}.
Observação do enunciado: desprezar variações de X_e, X_c e do ponto de término do primeiro subperíodo ao mudar a umidade do ar.
O que se pede:
(a) Determinar a umidade do sólido após 3\\ \mathrm{h} para w=0{,}014.
(b) Repetir para w=0{,}006 e tempo 6\\ \mathrm{h}.
Passo 2
Definições importantes e conversões de base (úmido ↔ seco). Explico porque converti: as equações de balanço e a difusão costumam ser mais simples em base seca (kg água/kg sólido seco). O enunciado dá muitas grandezas em base matéria úmida; convertendo para base seca fica mais consistente.
com p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}. Explico: essa fórmula vem da definição de razão de mistura e da relação entre pressão parcial e massa molar (constante 0,622).
Determinar a taxa de evaporação na zona de taxa constante (controle externo) — fluxo de massa por área. Modelo usado: velocidade por área (kg/(h m^2)) dada por lei convectiva linear:
N=k_c\,(p_{sat}-p_v).
Isto vem de relacionar fluxo de massa com diferença de pressão parcial entre superfície saturada (vapor a p_{sat}) e vapor no ar.
Comentário amigo: esses tempos são curtos porque o ar é seco e o coeficiente de transferência usado gera um grande fluxo externo; por isso rapidamente se chega à umidade crítica.
Passo 6
Primeiro subperíodo do regime de queda (entre X_c e X_{1end}): o enunciado diz que a velocidade por área varia linearmente com a umidade em base seca. Vou modelar
N(X)=aX+b,
onde X é a umidade em base seca. Conhecemos dois pontos para cada condição:
Comentário: em ambas as situações o primeiro subperíodo do regime decrescente termina bem antes de 3 h ou 6 h, então haverá tempo para o segundo subperíodo (controlado por difusão).
Passo 7
Modelo do segundo subperíodo (difusão controlada) — explicação do método e fórmula usada.
Explicação didática curta: para um corpo em forma de placa (lâmina) de espessura 2L com secagem por ambas faces, se a difusão interna é o mecanismo controlante e as superfícies podem ser consideradas com concentração superficial aproximadamente constante (igual à umidade de equilíbrio correspondente ao vapor saturado na superfície), a solução média da equação de difusão para a concentração média ao longo do tempo tem uma série. Para tempos moderados o primeiro termo da série domina, e usamos a aproximação de um termo:
\mathrm{MR}(t)\equiv\frac{X(t)-X_e}{X_{init}-X_e}\approx\frac{8}{\pi^2}\exp\!\left(-\frac{\pi^2 D t}{4L^2}\right),
onde:
X(t) é a umidade média em base seca no tempo t,
X_e é a umidade de equilíbrio em base seca,
X_{init} é a umidade de início do período difusivo (aqui X_{1end,d}),
D é a difusividade efetiva,
L é a meia-espessura do slab (metade da espessura total).
No nosso caso a espessura total é 0{,}10\\ \mathrm{m}, então L=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Constante da aproximação:
\frac{8}{\pi^2}\approx0{,}8106.
Passo 8
Aplicação numérica para a condição (a) — encontrar X após 3\\ \mathrm{h}.