Exercício 3: Uma tubulação de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro interno é usada para acondicionar um líquido alimentício a 80^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente convectivo da parte interna é 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. A parede do tubo tem espessura igual a 0,5 \mathrm{~cm} e o valor de k é 43 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura externa é 20^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo da parte externa é 100 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine o coeficiente global de transferência de calor para 1 m usando a área interna. Refaça os cálculos para a área externa. Avalie se há alteração no valor da taxa de transferência de calor.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Determinar o coeficiente global de transferência de calor para 1 m de tubo usando a área interna como referência.
  • Repetir o cálculo usando a área externa como referência.
  • Avaliar se há alteração no valor da taxa de transferência de calor (ou seja, se a vazão de calor muda quando se escolhe área interna ou externa como referência).
Dados fornecidos (já convertidos para unidades SI; peguei estes números do enunciado):
  • Diâmetro interno: D_i = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede: t = 0{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material da parede: k = 43\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
  • Coeficiente convectivo interno: h_i = 10\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}.
  • Coeficiente convectivo externo: h_o = 100\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}.
  • Comprimento considerado: L = 1\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas não são necessárias para calcular U (mas serão usadas se quiser calcular a taxa de calor); aqui só se pede os coeficientes e verificar se a taxa muda.

Passo 2

Esquema físico e método (fórmulas que vamos usar).
O calor flui do fluido interno para o fluido externo passando por três resistências em série:
  • resistência convectiva interna R_{ci},
  • resistência por condução na parede cilíndrica R_{cond},
  • resistência convectiva externa R_{co}.
As resistências são:
R_{ci}=\frac{1}{h_i A_i}, \qquad R_{cond}=\frac{\ln\!\left(r_o/r_i\right)}{2\pi k L}, \qquad R_{co}=\frac{1}{h_o A_o},
onde A_i é a área lateral interna, A_o é a área lateral externa, r_i e r_o são os raios interno e externo, e L é o comprimento (aqui 1\\ \mathrm{m}). A resistência térmica total é
R_{tot}=R_{ci}+R_{cond}+R_{co}.
A condutância total (por metro) é 1/R_{tot}. O coeficiente global de transferência de calor referido à área interna, U_{\mathrm{int}}, é definido por
Q = U_{\mathrm{int}}\,A_i\,\Delta T \quad\Rightarrow\quad U_{\mathrm{int}}=\frac{1}{R_{tot}A_i}.
Analogamente, referido à área externa,
U_{\mathrm{ext}}=\frac{1}{R_{tot}A_o}.
Importante entender: R_{tot} é a mesma independentemente da área de referência; U muda porque A muda. A vazão de calor Q para uma mesma diferença de temperatura \Delta T será a mesma pois Q=\Delta T/R_{tot}.

Passo 3

Cálculos geométricos (raízes e áreas). Primeiro calculemos raios e áreas (peguei D_i e t do enunciado):
r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{0{,}025}{2}=0{,}0125\\ \mathrm{m}, \qquad r_o=r_i+t=0{,}0125+0{,}005=0{,}0175\\ \mathrm{m}.
Áreas laterais por L=1\\ \mathrm{m}:
A_i=\pi D_i L=\pi(0{,}025)(1)=0{,}025\pi\\ \mathrm{m^2}\approx0{,}07854\\ \mathrm{m^2},
A_o=\pi D_o L=\pi(0{,}035)(1)=0{,}035\pi\\ \mathrm{m^2}\approx0{,}10996\\ \mathrm{m^2},
onde D_o=D_i+2t=0{,}035\\ \mathrm{m}. (Usei \pi\approx3{,}14159 para avaliações numéricas.)

Passo 4

Calcular cada resistência numérica.
Resistência convectiva interna:
R_{ci}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{10\cdot(0{,}025\pi)}=\frac{1}{0{,}785398\ldots}\approx 1{,}27324\\ \mathrm{^\circ C/W}.
Resistência por condução na parede cilíndrica:
R_{cond}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L}=\frac{\ln(0{,}0175/0{,}0125)}{2\pi\cdot 43\cdot 1}.
Calculemos o logaritmo e o denominador:
\ln\!\left(\frac{0{,}0175}{0{,}0125}\right)=\ln(1{,}4)\approx 0{,}336472,\qquad 2\pi k L=2\pi\cdot 43\approx 270{,}17697.
Logo
R_{cond}\approx\frac{0{,}336472}{270{,}17697}\approx 0{,}001246\\ \mathrm{^\circ C/W}.
Resistência convectiva externa:
R_{co}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{100\cdot(0{,}035\pi)}=\frac{1}{10{,}99557\ldots}\approx 0{,}09092\\ \mathrm{^\circ C/W}.

Passo 5

Resistência total e condutância total.
R_{tot}=R_{ci}+R_{cond}+R_{co}\approx 1{,}27324+0{,}001246+0{,}09092\approx 1{,}36541\\ \mathrm{^\circ C/W}.
A condutância total (por metro) é
\frac{1}{R_{tot}}\approx\frac{1}{1{,}36541}\approx 0{,}7329\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Isto significa que para cada grau de diferença de temperatura entre os fluidos, o tubo (1 m) transfere cerca de 0{,}7329\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular U referido à área interna e à área externa.
Referido à área interna:
U_{\mathrm{int}}=\frac{1}{R_{tot}A_i}=\frac{1}{1{,}36541\cdot(0{,}025\pi)}.
Numericamente:
U_{\mathrm{int}}\approx\frac{1}{1{,}36541\cdot 0{,}0785398}\approx 9{,}32\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}.
Referido à área externa:
U_{\mathrm{ext}}=\frac{1}{R_{tot}A_o}=\frac{1}{1{,}36541\cdot(0{,}035\pi)}.
Numericamente:
U_{\mathrm{ext}}\approx\frac{1}{1{,}36541\cdot 0{,}1099557}\approx 6{,}66\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}.
Explicação didática curta: U depende da área de referência; como a área externa é maior, U_{\mathrm{ext}} fica menor. Mas isso é só uma mudança de referência — a condutância absoluta do elemento (aqui 1/R_{tot}) é a mesma.

Passo 7

Avaliação se há alteração na taxa de transferência de calor.
A taxa de calor para uma dada diferença de temperatura \Delta T entre o fluido interno e o externo é
Q=\frac{\Delta T}{R_{tot}}=(U_{\mathrm{int}}A_i)\,\Delta T=(U_{\mathrm{ext}}A_o)\,\Delta T.
Portanto, não há alteração na taxa de transferência de calor real ao escolher área interna ou externa como referência — os produtos U_{\mathrm{int}}A_i e U_{\mathrm{ext}}A_o são iguais e valem 1/R_{tot}\approx 0{,}7329\\ \mathrm{W/^\circ C}. Ou seja, Q é o mesmo em ambas as referências.

Resposta

U_{\mathrm{int}} \approx 9,32\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}
U_{\mathrm{ext}} \approx 6,66\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}
Não há alteração na taxa de transferência de calor: Q/\Delta T = 1/R_{tot}\approx 0,733\\ \mathrm{W/^\circ C}.

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