Um trocador de calor de casco e tubos com área de troca de 2,1 \mathrm{~m}^{2} opera resfriando suco de laranja. O suco percorre o lado dos tubos fazendo dois passes dentro do casco. Já o casco é atravessado uma vez com água de resfriamento que entra a 5^{\circ} \mathrm{C}. As vazões volumétricas de suco e de água são 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} e 1,9 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, respectivamente. Sensores de temperatura nos dutos de entrada e de saída forneceram os seguintes valores médios para o suco: \mathrm{T}_{\mathrm{qe}}= 50^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\mathrm{qs}}=23{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine: a) a carga térmica do trocador; b) a temperatura de saída da água

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Área de troca: 2{,}1\\ \mathrm{m}^2 (não será usada diretamente para balanço de energia).
  • Suco (lado dos tubos): vazão volumétrica \dot V_{\mathrm{q}} = 1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}; temperatura de entrada T_{\mathrm{qe}} = 50^\circ\mathrm{C}; temperatura de saída T_{\mathrm{qs}} = 23^\circ\mathrm{C}. O suco faz dois passes, informação geométrica.
  • Água (lado do casco): vazão volumétrica \dot V_{\mathrm{w}} = 1{,}9\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}; temperatura de entrada T_{\mathrm{wi}} = 5^\circ\mathrm{C}; temperatura de saída T_{\mathrm{ws}} é a incógnita que devemos encontrar. O casco é de passagem única.
    O enunciado pede:
    a) a carga térmica (taxa de transferência de calor) do trocador;
    b) a temperatura de saída da água.

Passo 2

Observação importante e hipótese usada (porque o enunciado não fornece propriedades térmicas do suco): assumir que o suco de laranja tem densidade e capacidade térmica específicas aproximadamente iguais às da água líquida pura. Isto é comum em problemas de transferência de calor quando não se fornece propriedades. Assim tomarei:
  • densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3,
  • capacidade térmica a pressão constante c_p = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Se na prova for dado outro c_p ou \rho, substitua nas contas. Comentário prático: essa hipótese só afeta a precisão numérica; o método é o mesmo.

Passo 3

Converter vazões volumétricas para vazões mássicas (em unidades SI). Mostrar as contas passo a passo.
Vazão volumétrica do suco:
\dot V_{\mathrm{q}} = 1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} = \frac{1}{3600}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Portanto a vazão mássica do suco é
\dot m_{\mathrm{q}}=\rho\,\dot V_{\mathrm{q}}=1000\cdot\frac{1}{3600}=\frac{1000}{3600}=\frac{5}{18}\\ \mathrm{kg/s}.
(Vezes e frações assim facilitam cálculo sem calculadora.)
Vazão volumétrica da água:
\dot V_{\mathrm{w}} = 1{,}9\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}=\frac{1{,}9}{3600}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=\frac{19}{36000}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Vazão mássica da água:
\dot m_{\mathrm{w}}=\rho\,\dot V_{\mathrm{w}}=1000\cdot\frac{19}{36000}=\frac{19}{36}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Fórmula física para carga térmica (taxa de calor) do trocador: a carga térmica Q é a energia por unidade de tempo transferida do suco para a água. Pelo balanço de energia no estado estacionário, a taxa de calor retirada do suco é
Q=\dot m_{\mathrm{q}}\,c_p\,(T_{\mathrm{qe}}-T_{\mathrm{qs}}).
Aqui:
  • \dot m_{\mathrm{q}} é a vazão mássica do suco (kg/s);
  • c_p é a capacidade térmica a pressão constante (J/(kg·K));
  • T_{\mathrm{qe}} e T_{\mathrm{qs}} são temperaturas do suco na entrada e saída (em °C ou K — a diferença de temperatura em K é igual à diferença em °C).

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores (usar as frações encontradas para manter exatidão):
Q=\frac{5}{18}\cdot 4186\cdot(50-23)\\ \mathrm{W}.
Calcular passo a passo:
50-23=27,
\frac{5}{18}\cdot 4186 = \frac{5\cdot 4186}{18}.
Pode-se computar 5\cdot4186=20930 e dividir por 18: 20930/18=1162{,}777\ldots. Então
Q=1162{,}777\ldots \times 27 = 31395\\ \mathrm{W}.
Ou de forma exata (frações):
Q=\frac{5}{18}\cdot4186\cdot27=\frac{5\cdot4186\cdot27}{18}=31395\\ \mathrm{W}.
Converter para unidade mais amigável:
Q\approx 31{,}4\\ \mathrm{kW}.
Comentário: esse é o valor da carga térmica que o trocador deve remover do suco por segundo.

Passo 6

Agora usar balanço de energia do outro fluido (água). Em regime estacionário, a potência recebida pela água é igual à potência retirada do suco (assumindo perdas desprezíveis):
Q=\dot m_{\mathrm{w}}\,c_p\,(T_{\mathrm{ws}}-T_{\mathrm{wi}}).
Desse, isolamos a temperatura de saída da água T_{\mathrm{ws}}:
T_{\mathrm{ws}}=T_{\mathrm{wi}}+\frac{Q}{\dot m_{\mathrm{w}}\,c_p}.
Explicação: a água entra fria em T_{\mathrm{wi}} e sua temperatura sobe em \Delta T_{\mathrm{w}} = Q/(\dot m_{\mathrm{w}} c_p).

Passo 7

Substituir valores (usando a expressão exata para \dot m_{\mathrm{w}}=\tfrac{19}{36}\\ \mathrm{kg/s}):
T_{\mathrm{ws}}=5^\circ\mathrm{C}+\frac{31395}{\tfrac{19}{36}\cdot 4186}\\ \mathrm{K}.
Calcular o denominador:
\frac{19}{36}\cdot 4186=\frac{19\cdot4186}{36}=2209{,}2777\ldots\\ \mathrm{W/K}.
Então a elevação de temperatura da água é
\Delta T_{\mathrm{w}}=\frac{31395}{2209{,}2777\ldots}\approx 14{,}21\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_{\mathrm{ws}}=5{,}00^\circ\mathrm{C}+14{,}21^\circ\mathrm{C}\approx 19{,}21^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Comentário final prático (ajudinha de prova): a informação de que o suco faz dois passes e o casco passa uma vez é relevante para cálculo de coeficiente global de transferência e para correção do LMTD (se fosse pedido o coeficiente ou a área efetiva), mas para o balanço energético simples pedido aqui (carga térmica e temperatura de saída), essa configuração não altera a equação de conservação de energia — vale sempre que a energia perdida por um fluido é ganha pelo outro (se não há outras perdas). Também lembre-se: se no enunciado o suco tivesse um c_p diferente ou densidade diferente, repetir as contas substituindo esses valores.

Resposta

a) Q=31395\\ \mathrm{W}\approx 31{,}4\\ \mathrm{kW}
b) T_{\mathrm{água,\,saída}} \approx 19{,}21^\circ\mathrm{C}áí

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