É correto afirmar que o operador tal que é diagonalizável? Em caso positivo, determine a base B que diagonalize T e a matriz diagonal [T]B.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear T cuja matriz na base canônica é
[T] = 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3
é diagonalizável. Para isso, vamos usar a teoria de diagonalização: calcular o polinômio característico, verificar as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores e, em seguida, escolher uma base de autovetores.
Passo 2
Calcular o polinômio característico chiT(lambda) = det([T] - lambda I). Subtraindo lambda da diagonal, temos
Logo, os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).
Passo 3
Determinar o espaço próprio associado a resolvendo
As equações não-triviais são
ambas equivalentes a . Portanto os vetores próprios têm forma
com . O espaço próprio tem dimensão geométrica 2, igual à multiplicidade algébrica.
Passo 4
Determinar o espaço próprio associado a resolvendo
As equações não-triviais são
resultando em e . Logo,
com . O espaço próprio tem dimensão geométrica 1.
Passo 5
Como a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios é 2 + 1 = 3, igual à dimensão do espaço, concluímos que T é diagonalizável. Uma escolha conveniente de base de autovetores é:
v1 = (1,,0,,0), v2 = (0,,1,,-1) (autovetores de (lambda=1)),
v3 = (1,,0,,-1) (autovetor de (lambda=3))
Assim, B = v1, v2, v3 é uma base de autovetores que diagonaliza T.
Passo 6
Na base B, a matriz de T torna-se
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Resposta
O operador T é diagonalizável. Uma base que o diagonaliza é