5- Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40 \% a.a. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9 \% a.t., qual será sua escolha?

Passo 1

O enunciado apresenta duas opções de investimento: uma com rentabilidade de 40\% ao ano (efetiva) e outra com rentabilidade de 9\% ao trimestre. O conteúdo envolvido é juros compostos e precisamos comparar a taxa efetiva anual de cada alternativa para decidir qual rende mais.

Passo 2

Para converter a taxa trimestral de 9\% em taxa efetiva anual usamos a fórmula do juro composto em m períodos por ano:
i_{\text{aa}} = (1 + i_{\text{period}})^{m} - 1
Aqui i_{\text{period}} = 0,09 (taxa trimestral) e m=4 trimestres.

Passo 3

Calculemos a taxa efetiva anual da opção trimestral:
i_{\text{aa}} = (1 + 0,09)^{4} - 1
Primeiro,
1 + 0,09 = 1,09,
depois
1,09^{2} \approx 1,1881 \quad\text{e}\quad 1,09^{4} = (1,09^{2})^{2} \approx 1,1881^{2} \approx 1,4116.
Logo,
i_{\text{aa}} \approx 1,4116 - 1 = 0,4116 = 41,16\%.

Passo 4

Comparando as duas taxas anuais:
40\% < 41,16\%,
portanto a alternativa de 9\% ao trimestre gera uma taxa efetiva anual maior.

Resposta

O investidor deve escolher a aplicação de 9\% ao trimestre, pois ela equivale a cerca de 41,16\% ao ano, superior a 40\%.

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