Uma corretora de negocia título na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabilístico para avaliar o lucro seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agricultura, industria e comércio. Admite que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro diário da corretora ( em milhares de dólares)
, com
e
representando respectivamente os lucros diários nos setores de agricultura, industria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas variáveis aleatórias são
e
. Supondo independência entre os três setores, qual será a probabilidade de um lucro diário acima de 50 mil ?.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corretora que calcula seu lucro diário utilizando três setores: agricultura, indústria e comércio. O lucro total diário $ L $ é dado por uma combinação desses três lucros específicos:
Onde:
- $ L_A $ é o lucro no setor de agricultura, que segue uma distribuição normal $ N(3, 5) $.
- $ L_I $ é o lucro no setor de indústria, que segue uma distribuição normal $ N(6, 9) $.
- $ L_C $ é o lucro no setor de comércio, que segue uma distribuição normal $ N(4, 16) $.
Queremos encontrar a probabilidade de que o lucro diário $ L $ seja maior que 50 mil dólares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes também é uma variável normal. Então, $ L $ será uma variável normal cujo valor médio ($ \mu_L
\sigma_L^2 $) podemos calcular usando as médias e variâncias de $ L_A $, $ L_I $ e $ L_C $.
Passo 3
Vamos calcular a média de $ L $:
Substituindo os valores das médias:
Então, a média do lucro diário $ \mu_L $ é 55 mil dólares.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ L $. Como as variáveis são independentes, a variância da combinação linear é a soma das variâncias individuais multiplicadas pelos quadrados dos coeficientes:
Substituindo os valores das variâncias:
Então, a variância de $ L $ é 526, e o desvio padrão $ \sigma_L $ é $ \sqrt{526} \approx 22,94 $.
Passo 5
Queremos encontrar $ P(L > 50) $. Como $ L $ é normal, podemos padronizar usando a fórmula do escore z:
Substituindo os valores:
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar $ P(Z > -0,218) $. Sabemos que:
Usando a tabela ou uma calculadora, encontramos que $ P(Z < -0,218) \approx 0,414 $. Portanto:
Resposta
A probabilidade de um lucro diário acima de 50 mil dólares é de aproximadamente 58,6%.