Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição gama G(r1, lambda, ) e G(r4, lambda) respectivamente e seja Z=X+Y. Determinar: (a) a f.d.p da variável aleatória Z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, e , que seguem distribuições gama, ou seja, e . Essas variáveis são independentes, o que significa que o valor de uma não afeta o valor da outra. A gente quer descobrir qual é a função densidade de probabilidade (f.d.p) da soma dessas duas variáveis, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como somar variáveis aleatórias que seguem a distribuição gama.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição gama. A função densidade de probabilidade da distribuição gama é dada por:
fX(x) = lambda^r1 x^r1 - 1 e^-lambda xGamma(r1)
fY(y) = lambda^r4 y^r4 - 1 e^-lambda yGamma(r4)
Aqui, é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais.

Passo 3

Como fZ(z) = integral0^z fX(x) fY(z - x) , dx e são independentes, a f.d.p da soma é dada pela convolução das funções densidade de e :

Passo 4

No caso especial em que ambas as variáveis Z = X + Y sim G(r1 + r4, lambda) e têm o mesmo parâmetro na distribuição gama, a soma também segue uma distribuição gama. A forma dessa nova distribuição gama tem o mesmo parâmetro , e seus parâmetros de forma se somam. Então, se e , então:

Passo 5

Portanto, a função densidade de probabilidade de fZ(z) = lambda^r1 + r4 z^(r1 + r4) - 1 e^-lambda zGamma(r1 + r4) é:

Resposta

A função densidade de probabilidade da variável aleatória fZ(z) = lambda^r1 + r4 z^r1 + r4 - 1 e^-lambda zGamma(r1 + r4) para z >= 0 é:

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