Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com distribuição gama
, ) e
respectivamente e seja
. Determinar: (a) a f.d.p da variável aleatória
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, que seguem distribuições gama, ou seja,
e
. Essas variáveis são independentes, o que significa que o valor de uma não afeta o valor da outra. A gente quer descobrir qual é a função densidade de probabilidade (f.d.p) da soma dessas duas variáveis, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar variáveis aleatórias que seguem a distribuição gama.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição gama. A função densidade de probabilidade da distribuição gama é dada por:
Aqui,
é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais.
Passo 3
Como
e
são independentes, a f.d.p da soma
é dada pela convolução das funções densidade de
e
:
Passo 4
No caso especial em que ambas as variáveis
e
têm o mesmo parâmetro
na distribuição gama, a soma
também segue uma distribuição gama. A forma dessa nova distribuição gama tem o mesmo parâmetro
, e seus parâmetros de forma se somam. Então, se
e
, então:
Passo 5
Portanto, a função densidade de probabilidade de
é:
Resposta
A função densidade de probabilidade da variável aleatória
é: