Em uma corrida de d metros os atletas A, B e C competiram aos pares. A venceu B com 20 m de frente; B venceu C com 10 m de frente e A venceu C com 28 m de frente. Qual é o valor de d?

Passo 1

O enunciado diz que numa corrida de d metros, com atletas de velocidades constantes vA, vB e vC:
A vence B por 20 m de vantagem,
B vence C por 10 m de vantagem,
A vence C por 28 m de vantagem.
O conteúdo aqui é modelo de velocidades constantes e razão de velocidades a partir das distâncias percorridas nos mesmos tempos.

Passo 2

Quando A termina os d metros, leva tempo
tAB = dvA
Nesse tempo, B percorre d-20 metros, logo
vB ,tAB = d-20 ;Longrightarrow; vBdvA = d-20 ;Longrightarrow; vBvA = 1 - 20d

Passo 3

Quando B termina os d metros, leva tempo
tBC = dvB
Nesse tempo, C percorre d-10 metros, logo
vC ,tBC = d-10 ;Longrightarrow; vCvB = 1 - 10d

Passo 4

Por um lado, quando A termina os d metros, o mesmo tempo é tAB, e C percorre d-28 metros, dando
vCvA = 1 - 28d
Por outro lado, usando a propriedade de razões,
vCvA = vCvB,vBvA = l(1 - 10dr)l(1 - 20dr)
Igualando as duas expressões,
l(1 - 10dr)l(1 - 20dr) = 1 - 28d

Passo 5

Expandindo o lado esquerdo:
1 - 10+20d + 10cdot20d^2 = 1 - 30d + 200d^2
Logo a equação fica
1 - 30d + 200d^2 = 1 - 28d ;Longrightarrow; -,30d + 200d^2 = -,28d
Multiplicando por d^2:
-30d + 200 = -28d ;Longrightarrow; 200 = 2d ;Longrightarrow; d = 100

Resposta

O valor de d é 100 metros.

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