Verifique se é verdade que T(z1 cdot z2)=T(z1) cdot T(z2), forall z1, z2 in C.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma transformação linear T que pega números complexos e os transforma em matrizes 2 times 2 com números reais. A transformação é definida por:
T(x + iy) = x + 7y & 5y -10y & x - 7y
O que precisamos verificar é se essa transformação preserva a multiplicação, ou seja, se para quaisquer dois números complexos z1 e z2 , a seguinte igualdade é verdadeira:
T(z1 cdot z2) = T(z1) cdot T(z2)
Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como multiplicar matrizes. Também vamos aplicar as propriedades das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar dois números complexos. Se temos z1 = a + ib e z2 = c + id , o produto z1 cdot z2 é dado por:
z1 cdot z2 = (a cdot c - b cdot d) + i(a cdot d + b cdot c)
Então, o produto de dois complexos resulta em outro complexo, cujas partes real e imaginária são calculadas dessa forma.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação T no produto z1 cdot z2 . Usando a definição de T :
T(z1 cdot z2) = T( (a cdot c - b cdot d) + i(a cdot d + b cdot c) )
Aplicando a transformação:
T(z1 cdot z2) = (a cdot c - b cdot d) + 7(a cdot d + b cdot c) & 5(a cdot d + b cdot c) -10(a cdot d + b cdot c) & (a cdot c - b cdot d) - 7(a cdot d + b cdot c)
Vamos simplificar as entradas da matriz:
Elemento (1,1):
(a cdot c - b cdot d) + 7(a cdot d + b cdot c) = a cdot c - b cdot d + 7a cdot d + 7b cdot c
Elemento (1,2):
5(a cdot d + b cdot c) = 5a cdot d + 5b cdot c
Elemento (2,1):
-10(a cdot d + b cdot c) = -10a cdot d - 10b cdot c
Elemento (2,2):
(a cdot c - b cdot d) - 7(a cdot d + b cdot c) = a cdot c - b cdot d - 7a cdot d - 7b cdot c
Então, a matriz T(z1 cdot z2) fica:
T(z1 cdot z2) = a cdot c - b cdot d + 7a cdot d + 7b cdot c & 5a cdot d + 5b cdot c -10a cdot d - 10b cdot c & a cdot c - b cdot d - 7a cdot d - 7b cdot c
Passo 4
Agora, vamos calcular T(z1) e T(z2) separadamente e depois multiplicar as duas matrizes resultantes.
Primeiro, aplicando T em z1 = a + ib :
T(z1) = a + 7b & 5b -10b & a - 7b
E aplicando T em z2 = c + id :
T(z2) = c + 7d & 5d -10d & c - 7d
Agora, vamos multiplicar T(z1) por T(z2) :
T(z1) cdot T(z2) = a + 7b & 5b -10b & a - 7b cdot c + 7d & 5d -10d & c - 7d
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Elemento (1,1):
(a + 7b)(c + 7d) + (5b)(-10d) = a cdot c + 7a cdot d + 7b cdot c + 49b cdot d - 50b cdot d = a cdot c + 7a cdot d + 7b cdot c - 1b cdot d
Elemento (1,2):
(a + 7b)(5d) + (5b)(c - 7d) = 5a cdot d + 35b cdot d + 5b cdot c - 35b cdot d = 5a cdot d + 5b cdot c
Elemento (2,1):
(-10b)(c + 7d) + (a - 7b)(-10d) = -10b cdot c - 70b cdot d -10a cdot d + 70b cdot d = -10a cdot d -10b cdot c
Elemento (2,2):
(-10b)(5d) + (a - 7b)(c - 7d) = -50b cdot d + a cdot c - 7a cdot d - 7b cdot c + 49b cdot d = a cdot c - 7a cdot d -7b cdot c -1b cdot d
Então, a matriz T(z1) cdot T(z2) fica:
T(z1) cdot T(z2) = a cdot c + 7a cdot d + 7b cdot c - b cdot d & 5a cdot d + 5b cdot c -10a cdot d -10b cdot c & a cdot c - 7a cdot d -7b cdot c - b cdot d
Passo 5
Agora, vamos comparar as matrizes que obtivemos para T(z1 cdot z2) e para T(z1) cdot T(z2) :
T(z1 cdot z2) = a cdot c - b cdot d + 7a cdot d + 7b cdot c & 5a cdot d + 5b cdot c -10a cdot d - 10b cdot c & a cdot c - b cdot d - 7a cdot d - 7b cdot c
T(z1) cdot T(z2) = a cdot c + 7a cdot d + 7b cdot c - b cdot d & 5a cdot d + 5b cdot c -10a cdot d -10b cdot c & a cdot c - 7a cdot d -7b cdot c - b cdot d
Observamos que as entradas (1,1), (1,2), (2,1), e (2,2) das duas matrizes são iguais. Isso significa que:
T(z1 cdot z2) = T(z1) cdot T(z2)
Resposta
Sim, para quaisquer z1, z2 in C , temos que T(z1 cdot z2) = T(z1) cdot T(z2) . Portanto, a igualdade é verdadeira.