Dos pontos (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem simultaneamente as equações x+2 y-z=2 e 2 x-y+z=4, qual deles é o mais próximo do ponto P=(4,-1,1) ?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de duas equações lineares em R^3:
x + 2y - z = 2,
2x - y + z = 4,
cuja solução é uma reta L. Precisamos encontrar, entre todos os pontos de L, aquele que fica mais próximo de P=(4,-1,1). Geometricamente, isso equivale a projetar P ortogonalmente sobre L.

Passo 2

Vamos parametrizear L. Somando as duas equações:
(x+2y-z)+(2x-y+z)=2+4implies 3x + y = 6implies y=6-3x
Substituindo em x+2y-z=2:
x + 2(6-3x) - z = 2implies -5x - z = -10implies z = 10-5x
Logo, tomando x=t, obtemos a parametrização
x = t, y = 6 - 3t, z = 10 - 5t

Passo 3

Escrevemos a distância ao quadrado de um ponto genérico da reta até P como função de t:
d^2(t) = (t - 4)^2 + l(6 - 3t + 1r)^2 + l(10 - 5t - 1r)^2 = (t-4)^2 + (7-3t)^2 + (9-5t)^2
Expandindo e somando termos,
d^2(t) = 35t^2 - 140t + 146
Para minimizar, fazemos ddtd^2(t)=0:
70t - 140 = 0implies t = 2

Passo 4

Substituindo t=2 na parametrização:
x = 2, y = 6 - 3cdot2 = 0, z = 10 - 5cdot2 = 0

Resposta

O ponto de L mais próximo de P é (2,0,0).

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