( y^{2} \cos t - não linear) Aproxime
y^{\prime}(t)=y^{2} \cos t, \quad y(0)=0,5
\operatorname{com} h=0,25 até t=1,0.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução da EDO não linear
y'(t)=y^{2}\cos t,\quad y(0)=0{,}5
usando o método de Euler explícito com passo h=0{,}25 até t=1{,}0.

Passo 2

No método de Euler explícito, dado y_{n}\approx y(t_{n}) com t_{n}=n\,h, temos
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(t_{n},y_{n}),
onde f(t,y)=y^{2}\cos t. A condição inicial é
t_{0}=0,\quad y_{0}=0{,}5.

Passo 3

Cálculo de y_{1} em t_{1}=0{,}25:
f(t_{0},y_{0})=(0{,}5)^{2}\cos(0)=0{,}25\cdot1=0{,}25,
y_{1}=0{,}5+0{,}25\cdot0{,}25=0{,}5625.

Passo 4

Cálculo de y_{2} em t_{2}=0{,}50:
f(t_{1},y_{1})=(0{,}5625)^{2}\cos(0{,}25)\approx0{,}31640625\cdot0{,}9689\approx0{,}3067,
y_{2}=0{,}5625+0{,}25\cdot0{,}3067\approx0{,}6392.

Passo 5

Cálculo de y_{3} em t_{3}=0{,}75:
f(t_{2},y_{2})=(0{,}6392)^{2}\cos(0{,}50)\approx0{,}4086\cdot0{,}8776\approx0{,}3587,
y_{3}=0{,}6392+0{,}25\cdot0{,}3587\approx0{,}7289.

Passo 6

Cálculo de y_{4} em t_{4}=1{,}00:
f(t_{3},y_{3})=(0{,}7289)^{2}\cos(0{,}75)\approx0{,}5315\cdot0{,}7317\approx0{,}3886,
y_{4}=0{,}7289+0{,}25\cdot0{,}3886\approx0{,}8260.

Resposta

Aproximações pelo método de Euler explícito com h=0{,}25:
t =0{,}25: y_{1}\approx0{,}5625
t =0{,}50: y_{2}\approx0{,}6392
t =0{,}75: y_{3}\approx0{,}7289
t =1{,}00: y_{4}\approx0{,}8260

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