Determine a área das integrais definidas por:
\int_{2}^{3} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y = x^2 no intervalo de x=2 até x=3. O conteúdo envolvido é cálculo de integral definida, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a),
onde F é uma primitiva de f.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=x^2. Sabemos que, para potências de x,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=2, logo
F(x) = \int x^2\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{2}^{3} x^2\,dx = F(3) - F(2) = \frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}.

Resposta

A área sob a curva y=x^2 de x=2 a x=3 é \displaystyle \frac{19}{3}.

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