\left(\frac{y}{1+y^{2}}-t\right) - não linear. Aproxime
y^{\prime}(t)=\frac{y}{1+y^{2}}-t, \quad y(0)=1
com h=0,25 até t=1,0.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do problema de valor inicial \r
y'(t)=\frac{y}{1+y^{2}}-t,\quad y(0)=1 \r
usando o método de Euler explícito com passo h=0,25 até t=1,0.

Passo 2

No método de Euler explícito definimos a função \r
f(t,y)=\frac{y}{1+y^{2}}-t
e usamos o esquema \r
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(t_{n},y_{n}),\quad t_{n}=n\,h,\;y_{0}=1.

Passo 3

Para n=0 temos t_{0}=0 e y_{0}=1. Então
f(t_{0},y_{0})=\frac{1}{1+1^{2}}-0=\frac{1}{2}=0{,}5
e
y_{1}=y_{0}+0{,}25\cdot0{,}5=1+0{,}125=1{,}125.

Passo 4

Agora t_{1}=0{,}25 e y_{1}=1{,}125. Calculamos
f(t_{1},y_{1})=\frac{1{,}125}{1+1{,}125^{2}}-0{,}25 =\frac{1{,}125}{2{,}265625}-0{,}25\approx0{,}497-0{,}25=0{,}247
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y_{2}=1{,}125+0{,}25\cdot0{,}247=1{,}125+0{,}06175=1{,}18675.

Passo 5

Com t_{2}=0{,}50 e y_{2}\approx1{,}18675, temos
f(t_{2},y_{2}) =\frac{1{,}18675}{1+1{,}18675^{2}}-0{,}50 \approx\frac{1{,}18675}{2{,}40834}-0{,}50 \approx0{,}4926-0{,}50=-0{,}0074
e
y_{3}=1{,}18675+0{,}25\cdot(-0{,}0074) =1{,}18675-0{,}00185=1{,}18490.

Passo 6

Finalmente, para t_{3}=0{,}75 e y_{3}\approx1{,}18490:
f(t_{3},y_{3}) =\frac{1{,}18490}{1+1{,}18490^{2}}-0{,}75 \approx\frac{1{,}18490}{2{,}40302}-0{,}75 \approx0{,}4930-0{,}75=-0{,}2570
assim
y_{4}=1{,}18490+0{,}25\cdot(-0{,}2570) =1{,}18490-0{,}06425=1{,}12065.

Resposta

Os valores aproximados em cada passo são: t_{0}=0{,}00,\;y_{0}=1{,}0000 t_{1}=0{,}25,\;y_{1}=1{,}1250 t_{2}=0{,}50,\;y_{2}=1{,}1868 t_{3}=0{,}75,\;y_{3}=1{,}1849 t_{4}=1{,}00,\;y_{4}=1{,}1207

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