(Linear de referência) Aproxime
y^{\prime}(t)=t-y, \quad y(0)=1
com passo h=0,5 até t=2,0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(t)=t - y,\quad y(0)=1
e pede para aproximar a solução até t=2{,}0 usando passo h=0{,}5. O método é o de Euler explícito, que é apropriado para ODEs simples como esta.

Passo 2

No método de Euler explícito, a cada passo temos
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n)
onde f(t,y)=t - y. Portanto
y_{n+1}=y_n + h\bigl(t_n - y_n\bigr).

Passo 3

Calculamos as primeiras iterações n=0\to1 e n=1\to2:
t_0=0,\;y_0=1
y_1 = 1 + 0{,}5\,(0 - 1) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5,
t_1 = 0{,}5,\;y_1 = 0{,}5
y_2 = 0{,}5 + 0{,}5\,(0{,}5 - 0{,}5) = 0{,}5 + 0 = 0{,}5.

Passo 4

Agora n=2\to3 e n=3\to4:
t_2 = 1{,}0,\;y_2 = 0{,}5
y_3 = 0{,}5 + 0{,}5\,(1 - 0{,}5) = 0{,}5 + 0{,}25 = 0{,}75,
t_3 = 1{,}5,\;y_3 = 0{,}75
y_4 = 0{,}75 + 0{,}5\,(1{,}5 - 0{,}75) = 0{,}75 + 0{,}375 = 1{,}125.

Resposta

y(0,5)\approx0,5
y(1,0)\approx0,5
y(1,5)\approx0,75
y(2,0)\approx1,125

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