Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole descrita por
e um esboço do seu gráfico. Vamos usar a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem para identificarmos
,
e
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados de
por
, obtemos a forma padrão
Dessa expressão vemos que o centro é
, que
(logo
) e
(logo
). Por ser
, a hipérbole abre para cima e para baixo.
Passo 3
Os vértices de uma hipérbole vertical com centro na origem são
Assim, os vértices são
Passo 4
Os focos ficam a uma distância
do centro, onde
ou seja
. Portanto, os focos são
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são
Aqui
, logo as assíntotas são
Passo 6
Para esboçar o gráfico, marcamos o centro em
, os vértices em
e desenhamos duas ramificações verticalmente, aproximando-se das retas
e
à medida que
.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: