Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
y^{2}-16 x^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole descrita por
y^{2}-16x^{2}=16
e um esboço do seu gráfico. Vamos usar a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem para identificarmos a, b e c.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de y^{2}-16x^{2}=16 por 16, obtemos a forma padrão
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{1}=1.
Dessa expressão vemos que o centro é (0,0), que a^{2}=16 (logo a=4) e b^{2}=1 (logo b=1). Por ser \tfrac{y^{2}}{a^{2}}-\tfrac{x^{2}}{b^{2}}=1, a hipérbole abre para cima e para baixo.

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole vertical com centro na origem são
(0,\pm a).
Assim, os vértices são
(0,4)\quad\text{e}\quad(0,-4).

Passo 4

Os focos ficam a uma distância c do centro, onde
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+1=17,
ou seja c=\sqrt{17}. Portanto, os focos são
\bigl(0,\sqrt{17}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(0,-\sqrt{17}\bigr).

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma \tfrac{y^{2}}{a^{2}}-\tfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 são
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Aqui \frac{a}{b}=\frac{4}{1}=4, logo as assíntotas são
y=4x \quad\text{e}\quad y=-4x.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, marcamos o centro em (0,0), os vértices em (0,\pm4) e desenhamos duas ramificações verticalmente, aproximando-se das retas y=4x e y=-4x à medida que |x|\to\infty.

Resposta

Vértices: (0,4) e (0,-4)
Focos: \bigl(0,\sqrt{17}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{17}\bigr)
Assíntotas: y=4x e y=-4x

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