w=x^2 cos x y; partial w / partial x(12, pi); partial w / partial y(12, pi)

Passo 1

Temos a função w = x^2 cos(xy) e queremos as derivadas parciais em (x,y)=(1/2,pi). Esse conteúdo é de derivadas parciais e vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial wpartial x, tratamos w como produto entre x^2 e cos(xy). Aplicando a regra do produto e a cadeia, obtemos:
partial wpartial x = 2xcos(xy) + x^2l(-sin(xy)r)cdot y = 2xcos(xy) - x^2 ysin(xy)

Passo 3

Avaliando partial wpartial x em (1/2,pi), substituímos x=1/2, y=pi e xy=pi/2. Como cos(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1, temos:
partial wpartial x(1/2,pi) = 2cdottfrac12cdot0 - (tfrac12)^2cdotpicdot1 = 0 - pi4 = -pi4

Passo 4

Para calcular partial wpartial y, derivamos w = x^2cos(xy) em relação a y. Usando a regra da cadeia:
partial wpartial y = x^2l(-sin(xy)r)cdot x = -x^3sin(xy)

Passo 5

Avaliando partial wpartial y em (1/2,pi), com x=1/2 e xy=pi/2, temos sin(pi/2)=1 e x^3=(1/2)^3=1/8. Logo:
partial wpartial y(1/2,pi) = -tfrac18 = -tfrac18

Resposta

partial wpartial x(1/2,pi) = -pi4, partial wpartial y(1/2,pi) = -18.

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