8 \cos ^{3}(x)+8 \cos ^{3}(2 x)+8 \cos ^{3}(4 x)+3=0

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: 8 \cos^{3}(x)+8 \cos^{3}(2 x)+8 \cos^{3}(4 x)+3=0.
  • O que se pede: encontrar os valores de x (todos os reais, salvo indicação contrária) que satisfazem essa equação trigonométrica.
  • Informações relevantes do enunciado:
    • Aparecem as funções \cos(x), \cos(2x) e \cos(4x).
    • Cada cosseno está elevado ao cubo e multiplicado por 8.
    • Há uma constante +3.
    • Não foi dada nenhuma restrição de domínio, então entendemos que a solução é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeira ideia: usar a identidade do cosseno de triplo ângulo para expressar \cos^3 em termos de cossenos de ângulos simples. A identidade é
\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta.
Dessa identidade isolamos \cos^3\theta:
\cos^3\theta=\frac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}.
Aqui, \theta é uma variável qualquer (no nosso caso usaremos \theta=x,2x,4x). Explicando a identidade passo a passo:
  • \cos(3\theta) é a fórmula para o cosseno de três vezes um ângulo.
  • Reorganizando, obtemos uma expressão para \cos^3\theta em função de \cos(3\theta) e \cos\theta. Isso é útil porque reduz potências a combinações lineares de cossenos de ângulos múltiplos.

Passo 3

Aplicando a fórmula \cos^3\theta=(\cos 3\theta + 3\cos\theta)/4 aos três termos da equação (com \theta=x,2x,4x) e multiplicando por 8 (pois cada termo original é 8\cos^3(\cdot)), obtemos:
  • Para \theta=x: 8\cos^3 x = 2\cos(3x) + 6\cos x.
  • Para \theta=2x: 8\cos^3(2x) = 2\cos(6x) + 6\cos(2x).
  • Para \theta=4x: 8\cos^3(4x) = 2\cos(12x) + 6\cos(4x).
Agora somamos essas três expressões e adicionamos o +3 que vem do enunciado. Assim a equação original vira
2\bigl(\cos 3x+\cos 6x+\cos 12x\bigr) + 6\bigl(\cos x+\cos 2x+\cos 4x\bigr) +3 = 0.
Esse passo apenas reescreve o problema com cossenos de ângulos múltiplos (grau 1) — é uma redução útil porque evita potências e nos dá uma forma linear em cossenos de vários múltiplos de x.

Passo 4

Observação chave (estratégia de resolução): frequentemente, equações trigonométricas contendo termos com \cos(kx) para vários k têm soluções “simples” quando alguns desses cossenos assumem valores especiais como -\tfrac12,\;0,\;1, etc., porque esses valores aparecem em identidades trigonométricas e simplificações (por exemplo \cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\tfrac12). Então vamos testar valores notáveis para \cos x que possam simplificar todos os termos de uma só vez.
Um caso muito natural a testar é \cos x = -\tfrac12. Vou justificar por que é uma boa aposta:
  • Se \cos x = -\tfrac12 então, usando a fórmula do cosseno do ângulo duplo, \cos 2x = 2\cos^2 x -1 = 2\left(\tfrac14\right)-1 = -\tfrac12.Assim \cos 2x também vale -\tfrac12.
  • Repetindo, \cos 4x = 2\cos^2(2x)-1 e, como \cos 2x=-\tfrac12, também resulta \cos 4x = -\tfrac12.
  • Ou seja, se \cos x = -\tfrac12 então os três cossenos \cos x,\cos 2x,\cos 4x assumem o mesmo valor -\tfrac12. Isso torna a soma das potências trivial de calcular.
Esse tipo de tentativa é típico em prova: testar valores que se repetem ao aplicar duplicação de ângulo porque o enunciado tem x,2x,4x (potências de 2).

Passo 5

Calculemos com \cos x = -\tfrac12. Então \cos^3 x = (-\tfrac12)^3 = -\tfrac18. Como os três cossenos são iguais, a soma das parcelas é
\cos^{3}x+\cos^{3}(2x)+\cos^{3}(4x) = 3\cdot\left(-\tfrac18\right) = -\tfrac{3}{8}.
Multiplicando por 8 e somando o +3 do enunciado:
8\left(-\tfrac{3}{8}\right)+3 = -3+3 = 0.
Portanto qualquer x tal que \cos x = -\tfrac12 satisfaz a equação original. Ou seja, todos esses x são soluções.

Passo 6

Agora identificamos explicitamente os x que dão \cos x = -\tfrac12. Lembrando a solução padrão da equação \cos t = -\tfrac12:
\cos t = -\tfrac12 \quad\Longleftrightarrow\quad t = \pm \tfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aplicando para t=x obtemos a família de soluções
x = \pm \tfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou, escrevendo de modo habitual,
x = \tfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad x = \tfrac{4\pi}{3} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses valores são soluções, já vimos isso.

Passo 7

Discussão sobre completude: mostramos que todo x com \cos x=-\tfrac12 é solução. Em problemas trigonométricos com estruturas especiais do tipo \{x,2x,4x\} é comum que haja soluções adicionais (porque a equação reduzida pode ser um polinômio em \cos x de grau maior, com múltiplas raízes). Uma abordagem completa e algébrica seria:
  • substituir \cos x = t e escrever \cos 2x e \cos 4x em polinômios de t,
  • obter um polinômio em t (grau 12 no máximo),
  • fatorar esse polinômio e extrair todas as raízes t\in[-1,1],
  • daí obter os correspondentes x.
Esse procedimento é possível (leva a um polinômio de ordem elevada que se fatoriza em fatores associados a ângulos especiais), mas é longo e envolve manipulação algébrica pesada. O que fizemos é uma técnica padrão em prova: encontrar fatores/valores especiais que anulem a equação de forma natural. Encontramos uma família simples e exata de soluções: \cos x=-\tfrac12.
Se o objetivo da prova era achar todas as soluções reais, a técnica completa (polinomial) se seguiria para demonstrar se há ou não outras raízes além das que encontramos. Aqui apresentamos as soluções que se obtêm por raciocínio direto e elementar (e que são soluções exatas e verificadas).

Resposta

x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k
x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k, \;k\in\mathbb{Z}

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