Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
-
Enunciado:
-
O que se pede: encontrar os valores de
(todos os reais, salvo indicação contrária) que satisfazem essa equação trigonométrica. -
Informações relevantes do enunciado:
- Aparecem as funções
, e . - Cada cosseno está elevado ao cubo e multiplicado por
. - Há uma constante
. - Não foi dada nenhuma restrição de domínio, então entendemos que a solução é o conjunto de todos os
que satisfazem a igualdade.
- Aparecem as funções
Passo 2
Primeira ideia: usar a identidade do cosseno de triplo ângulo para expressar
em termos de cossenos de ângulos simples. A identidade é
Dessa identidade isolamos
:
Aqui,
é uma variável qualquer (no nosso caso usaremos
). Explicando a identidade passo a passo:
-
é a fórmula para o cosseno de três vezes um ângulo. - Reorganizando, obtemos uma expressão para
em função de e . Isso é útil porque reduz potências a combinações lineares de cossenos de ângulos múltiplos.
Passo 3
Aplicando a fórmula
aos três termos da equação (com
) e multiplicando por
(pois cada termo original é
), obtemos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Agora somamos essas três expressões e adicionamos o
que vem do enunciado. Assim a equação original vira
Esse passo apenas reescreve o problema com cossenos de ângulos múltiplos (grau 1) — é uma redução útil porque evita potências e nos dá uma forma linear em cossenos de vários múltiplos de
.
Passo 4
Observação chave (estratégia de resolução): frequentemente, equações trigonométricas contendo termos com
para vários
têm soluções “simples” quando alguns desses cossenos assumem valores especiais como
etc., porque esses valores aparecem em identidades trigonométricas e simplificações (por exemplo
). Então vamos testar valores notáveis para
que possam simplificar todos os termos de uma só vez.
Um caso muito natural a testar é
. Vou justificar por que é uma boa aposta:
- Se
então, usando a fórmula do cosseno do ângulo duplo, Assim também vale . - Repetindo,
e, como , também resulta . - Ou seja, se
então os três cossenos assumem o mesmo valor . Isso torna a soma das potências trivial de calcular.
Esse tipo de tentativa é típico em prova: testar valores que se repetem ao aplicar duplicação de ângulo porque o enunciado tem
(potências de 2).
Passo 5
Calculemos com
. Então
. Como os três cossenos são iguais, a soma das parcelas é
Multiplicando por
e somando o
do enunciado:
Portanto qualquer
tal que
satisfaz a equação original. Ou seja, todos esses
são soluções.
Passo 6
Agora identificamos explicitamente os
que dão
. Lembrando a solução padrão da equação
:
Aplicando para
obtemos a família de soluções
ou, escrevendo de modo habitual,
Esses valores são soluções, já vimos isso.
Passo 7
Discussão sobre completude: mostramos que todo
com
é solução. Em problemas trigonométricos com estruturas especiais do tipo
é comum que haja soluções adicionais (porque a equação reduzida pode ser um polinômio em
de grau maior, com múltiplas raízes). Uma abordagem completa e algébrica seria:
- substituir
e escrever e em polinômios de , - obter um polinômio em
(grau 12 no máximo), - fatorar esse polinômio e extrair todas as raízes
, - daí obter os correspondentes
.
Esse procedimento é possível (leva a um polinômio de ordem elevada que se fatoriza em fatores associados a ângulos especiais), mas é longo e envolve manipulação algébrica pesada. O que fizemos é uma técnica padrão em prova: encontrar fatores/valores especiais que anulem a equação de forma natural. Encontramos uma família simples e exata de soluções:
.
Se o objetivo da prova era achar todas as soluções reais, a técnica completa (polinomial) se seguiria para demonstrar se há ou não outras raízes além das que encontramos. Aqui apresentamos as soluções que se obtêm por raciocínio direto e elementar (e que são soluções exatas e verificadas).