1. Encontre a soma dos elementos da diagonal principal da matriz \mathrm{A}^{40}, sendo
A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 3 & 0 & 0 \end{array}\right)
A) 0
B) 6
C) 36
D) 3
E) 7

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A^{40}, onde foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Informações importantes dadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • A pergunta equivale a calcular o traço de A^{40}, isto é, \operatorname{tr}\!\left(A^{40}\right) (a soma dos elementos da diagonal principal).]

Passo 2

Primeiro, lembro rapidinho como multiplicar matrizes: a entrada (i,j) de AB é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B. Vou calcular A^2=A\cdot A elemento a elemento, mostrando alguns produtos escalares para ficar bem claro.
Calculemos algumas entradas de A^2:
  • (A^2)_{11}= linha 1 de A \cdot coluna 1 de A =\;(0,1,0)\cdot(0,0,3)=0.
  • (A^2)_{13}= linha 1 de A \cdot coluna 3 de A =\;(0,1,0)\cdot(0,2,0)=2.
  • (A^2)_{21}= linha 2 de A \cdot coluna 1 de A =\;(0,0,2)\cdot(0,0,3)=6.
  • (A^2)_{32}= linha 3 de A \cdot coluna 2 de A =\;(3,0,0)\cdot(1,0,0)=3.
As demais entradas calculam-se do mesmo jeito e o resultado é
A^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\[4pt] 6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculo A^3=A^2\cdot A. Faço alguns produtos escalares como antes:
  • (A^3)_{11}=(0,0,2)\cdot(0,0,3)=6.
  • (A^3)_{22}=(6,0,0)\cdot(1,0,0)=6.
  • (A^3)_{33}=(0,3,0)\cdot(0,2,0)=6.
    As entradas fora da diagonal dá zero. Logo
A^3=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 6 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}=6I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 4

A partir de A^3=6I_3 obtemos a forma geral das potências múltiplas de 3 por simples propriedades de potências de matrizes:
A^{3k}=(A^3)^k=(6I_3)^k=6^k I_3,
para todo inteiro k\ge0.

Passo 5

Escrevo 40=3\cdot 13+1. Portanto
A^{40}=A^{39}A=(A^3)^{13}A=6^{13}I_3\cdot A=6^{13}A.

Passo 6

O traço é linear em escalares: \operatorname{tr}(cM)=c\,\operatorname{tr}(M) para qualquer matriz M e escalar c. Assim
\operatorname{tr}\!\left(A^{40}\right)=\operatorname{tr}\!\left(6^{13}A\right)=6^{13}\operatorname{tr}(A).
Mas a soma dos elementos da diagonal de A é
\operatorname{tr}(A)=0+0+0=0,
logo
\operatorname{tr}\!\left(A^{40}\right)=6^{13}\cdot 0=0.

Resposta

A) 0

Exercícios relacionados