Considerando
, calcule o valor de
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
B) 4
C) 6
D) 8
Passo 1
O enunciado dá que
. Assim:
O que se pede é o valor da soma
Informações relevantes:
-
. - A soma vai de
até . - Precisamos simplificar cada termo
e somar.
Passo 2
Vou transformar cada razão trigonométrica em uma forma mais manejável. Existe uma identidade muito útil (que vem da soma geométrica de exponenciais ou das fórmulas para senos de somas) para
ímpar:
No nosso caso
, logo
. Aplicando a fórmula obtemos, para qualquer
,
(Se quiser ver rápido de onde vem: escreva
e divida por
; o quociente é a soma geométrica
, cuja parte real dá
.)
Passo 3
Aplicando essa identidade com
em cada termo da soma, obtemos
Portanto a soma
vira
Separando somas:
A primeira soma é trivial:
. Logo
Passo 4
Calcular
. Note que
Defina
, então
. Sabemos que
porque são as raízes da unidade (soma das 13 potências de
). Retirando o termo
(que é
):
Agrupando termos conjugados em pares
para
, temos
Dividindo por
:
Como
, concluímos
Passo 5
Agora calcular
. Observe que
Seja ainda
. Então
, e
Multiplicar os expoentes por
modulo
é uma permutação dos expoentes
(pois
), de modo que a soma das seis potências
para
reúne exatamente seis termos que, junto com seus conjugados, formam a soma
. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior obtemos
Logo
Passo 6
Substituindo os resultados no Passo 3:
Calculando:
Resposta
B) 4