Considerando 13 \theta=\pi, calcule o valor de
\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{\operatorname{sen} 5 k \theta}{\operatorname{sen} k \theta}\right)
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

Passo 1

O enunciado dá que 13\theta=\pi. Assim:
\theta=\frac{\pi}{13}.
O que se pede é o valor da soma
S=\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{\operatorname{sen}(5k\theta)}{\operatorname{sen}(k\theta)}\right).
Informações relevantes:
  • \theta=\dfrac{\pi}{13}.
  • A soma vai de k=1 até k=6.
  • Precisamos simplificar cada termo \dfrac{\operatorname{sen}(5k\theta)}{\operatorname{sen}(k\theta)} e somar.

Passo 2

Vou transformar cada razão trigonométrica em uma forma mais manejável. Existe uma identidade muito útil (que vem da soma geométrica de exponenciais ou das fórmulas para senos de somas) para n ímpar:
\frac{\operatorname{sen}((2m+1)x)}{\operatorname{sen}x}=1+2\sum_{j=1}^{m}\cos(2jx).
No nosso caso 2m+1=5, logo m=2. Aplicando a fórmula obtemos, para qualquer x,
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}x}=1+2\cos(2x)+2\cos(4x).
(Se quiser ver rápido de onde vem: escreva \operatorname{sen}(5x)=\dfrac{e^{5ix}-e^{-5ix}}{2i} e divida por \operatorname{sen}x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}; o quociente é a soma geométrica e^{4ix}+e^{2ix}+1+e^{-2ix}+e^{-4ix}, cuja parte real dá 1+2\cos(2x)+2\cos(4x).)

Passo 3

Aplicando essa identidade com x=k\theta em cada termo da soma, obtemos
\frac{\operatorname{sen}(5k\theta)}{\operatorname{sen}(k\theta)}=1+2\cos(2k\theta)+2\cos(4k\theta).
Portanto a soma S vira
S=\sum_{k=1}^{6}\Big(1+2\cos(2k\theta)+2\cos(4k\theta)\Big).
Separando somas:
S= \sum_{k=1}^{6}1 \;+\; 2\sum_{k=1}^{6}\cos(2k\theta)\;+\;2\sum_{k=1}^{6}\cos(4k\theta).
A primeira soma é trivial: \sum_{k=1}^{6}1=6. Logo
S=6+2\sum_{k=1}^{6}\cos(2k\theta)+2\sum_{k=1}^{6}\cos(4k\theta).

Passo 4

Calcular \sum_{k=1}^{6}\cos(2k\theta). Note que
2k\theta = 2k\cdot\frac{\pi}{13}=\frac{2\pi k}{13}.
Defina \omega=e^{i\frac{2\pi}{13}}, então \cos\!\big(\tfrac{2\pi k}{13}\big)=\Re(\omega^k). Sabemos que
\sum_{n=0}^{12}\omega^n=0
porque são as raízes da unidade (soma das 13 potências de \omega). Retirando o termo n=0 (que é 1):
\sum_{n=1}^{12}\omega^n=-1.
Agrupando termos conjugados em pares \omega^k+\omega^{13-k}=2\cos\!\big(\tfrac{2\pi k}{13}\big) para k=1,\dots,6, temos
\sum_{k=1}^{6}2\cos\!\big(\tfrac{2\pi k}{13}\big)=-1.
Dividindo por 2:
\sum_{k=1}^{6}\cos\!\big(\tfrac{2\pi k}{13}\big)=-\tfrac{1}{2}.
Como 2k\theta=\tfrac{2\pi k}{13}, concluímos
\sum_{k=1}^{6}\cos(2k\theta)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora calcular \sum_{k=1}^{6}\cos(4k\theta). Observe que
4k\theta=\frac{4\pi k}{13}=\frac{2\pi(2k)}{13}.
Seja ainda \omega=e^{i\frac{2\pi}{13}}. Então \cos\!\big(\tfrac{4\pi k}{13}\big)=\Re(\omega^{2k}), e
\sum_{k=1}^{6}\cos\!\big(\tfrac{4\pi k}{13}\big)=\Re\!\left(\sum_{k=1}^{6}\omega^{2k}\right).
Multiplicar os expoentes por 2 modulo 13 é uma permutação dos expoentes 1,2,\dots,12 (pois \gcd(2,13)=1), de modo que a soma das seis potências \omega^{2k} para k=1,\dots,6 reúne exatamente seis termos que, junto com seus conjugados, formam a soma \sum_{n=1}^{12}\omega^n=-1. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior obtemos
\sum_{k=1}^{6}\cos\!\big(\tfrac{4\pi k}{13}\big)=-\tfrac{1}{2}.
Logo
\sum_{k=1}^{6}\cos(4k\theta)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo os resultados no Passo 3:
S=6+2\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)+2\Big(-\tfrac{1}{2}\Big).
Calculando:
S=6-1-1=4.

Resposta

B) 4

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