∫ cos x · cos 3 x dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a expressão integranda é o produto de duas funções trigonométricas e
. O resultado deve conter a constante arbitrária de integração
.
Informações dadas: a expressão integranda é o produto de duas funções trigonométricas
Passo 2
Ferramenta que vou usar (explicada): a identidade produto-para-soma para cossenos. Ela vem das fórmulas de adição para cosseno:
Se eu somar essas duas igualdades, os termos com
se cancelam e obtenho
Logo, isolando
,
Aqui
e
são variáveis quaisquer (ângulos); essa fórmula transforma produto em soma de cossenos — muito útil para integrar.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Como
é função par,
. Portanto
Passo 4
Substituo essa expressão na integral:
Aqui usei a linearidade da integral:
e posso tirar constantes multiplicativas para fora.
Passo 5
Agora integro termo a termo. Lembre que, para constante
,
porque derivando
usando a regra da cadeia volta-se a
. Portanto
e
Passo 6
Somando as parcelas e adicionando a constante
, o resultado final é