∫ cos x · cos 3 x dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos x \cdot \cos 3x \, dx.
Informações dadas: a expressão integranda é o produto de duas funções trigonométricas \cos x e \cos 3x. O resultado deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vou usar (explicada): a identidade produto-para-soma para cossenos. Ela vem das fórmulas de adição para cosseno:
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B
Se eu somar essas duas igualdades, os termos com \sin A\sin B se cancelam e obtenho
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B.
Logo, isolando \cos A\cos B,
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Aqui A e B são variáveis quaisquer (ângulos); essa fórmula transforma produto em soma de cossenos — muito útil para integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=x e B=3x:
\cos x\cos 3x=\tfrac{1}{2}\big(\cos(x+3x)+\cos(x-3x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos 4x+\cos(-2x)\big).
Como \cos é função par, \cos(-2x)=\cos 2x. Portanto
\cos x\cos 3x=\tfrac{1}{2}\big(\cos 4x+\cos 2x\big).

Passo 4

Substituo essa expressão na integral:
\int \cos x\cos 3x \, dx=\tfrac{1}{2}\int\big(\cos 2x+\cos 4x\big)\,dx.
Aqui usei a linearidade da integral: \int (f+g)=\int f+\int g e posso tirar constantes multiplicativas para fora.

Passo 5

Agora integro termo a termo. Lembre que, para constante k\neq 0,
\int \cos(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\sin(kx)+C,
porque derivando \tfrac{1}{k}\sin(kx) usando a regra da cadeia volta-se a \cos(kx). Portanto
\tfrac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\sin 2x=\tfrac{1}{4}\sin 2x,
e
\tfrac{1}{2}\int\cos 4x\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}\sin 4x=\tfrac{1}{8}\sin 4x.

Passo 6

Somando as parcelas e adicionando a constante C, o resultado final é
\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{8}\sin 4x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{8}\sin 4x + C

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