∫ sen 3 x · cos 2 x dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(3x)\cdot\cos(2x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas, \operatorname{sen}(3x) e \cos(2x). O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(3x)\cos(2x). Não há outras restrições dadas.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece produto de seno e cosseno com argumentos diferentes é muito útil usar uma identidade que troca produto por soma — a chamada identidade produto-para-soma. Vou deduzir essa identidade passo a passo para você entender de onde vem. Começamos pelas fórmulas de soma e diferença:
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen} A\cos B+\cos A\operatorname{sen} B,
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen} A\cos B-\cos A\operatorname{sen} B.
Somando as duas equalidades, os termos \cos A\operatorname{sen} B se cancelam:
\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)=2\operatorname{sen} A\cos B.
Dividindo por 2 obtemos a identidade usada:
\operatorname{sen} A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\big).
Essa identidade é muito prática porque transforma um produto complicado em soma de senos, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso com A=3x e B=2x:
\operatorname{sen}(3x)\cos(2x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(3x+2x)+\operatorname{sen}(3x-2x)\big).
Simplificando os argumentos:
\operatorname{sen}(3x)\cos(2x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(5x)+\operatorname{sen}(x)\big).

Passo 4

Agora substituímos na integral e integramos termo a termo:
\int \operatorname{sen}(3x)\cos(2x)\,dx=\int \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(5x)+\operatorname{sen}(x)\big)\,dx.
Fatorando \tfrac{1}{2}:
= \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(5x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(x)\,dx.
Lembrando a fórmula básica de integração: \displaystyle \int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C, pois ao derivar -\frac{1}{k}\cos(kx) obtemos \operatorname{sen}(kx). Aplicando-a:
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(5x)\,dx = \tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) = -\frac{1}{10}\cos(5x),
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(x)\,dx = \tfrac{1}{2}\left(-\cos(x)\right) = -\frac{1}{2}\cos(x).
Somando e adicionando a constante de integração \(C):
\int \operatorname{sen}(3x)\cos(2x)\,dx = -\frac{1}{10}\cos(5x)-\frac{1}{2}\cos(x)+C.

Passo 5

Verificação (método de checagem): sempre bom conferir derivando a resposta. Seja
F(x)=-\tfrac{1}{10}\cos(5x)-\tfrac{1}{2}\cos(x).
Derivando:
F'(x)=-\tfrac{1}{10}\cdot(-5\operatorname{sen}(5x))-\tfrac{1}{2}\cdot(-\operatorname{sen}(x))=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(5x)+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(x).
Factorizando \tfrac{1}{2}:
F'(x)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(5x)+\operatorname{sen}(x)\big).
Usando novamente a identidade produto-para-soma inversa (ou reconhecendo a identidade do Passo 2), isso é igual a \operatorname{sen}(3x)\cos(2x). Logo F'(x) coincide com a integranda, checando que a primitiva está correta.

Passo 6

Dica final e variação: quando o produto for de funções do tipo \operatorname{sen}(nx)\cos(nx) com argumentos iguais, outra rota prática é a substituição u=\operatorname{sen}(nx) (ou usar identidade \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x). Para produtos com argumentos diferentes, a abordagem produto-para-soma é a mais direta. Você pegou bem essa técnica — ela aparece muito em provas.

Resposta

-\dfrac{1}{10}\cos(5x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+C

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