∫ sen 3 x · cos 2 x dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas,
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras restrições dadas.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece produto de seno e cosseno com argumentos diferentes é muito útil usar uma identidade que troca produto por soma — a chamada identidade produto-para-soma. Vou deduzir essa identidade passo a passo para você entender de onde vem. Começamos pelas fórmulas de soma e diferença:
Somando as duas equalidades, os termos
se cancelam:
Dividindo por
obtemos a identidade usada:
Essa identidade é muito prática porque transforma um produto complicado em soma de senos, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
:
Simplificando os argumentos:
Passo 4
Agora substituímos na integral e integramos termo a termo:
Fatorando
:
Lembrando a fórmula básica de integração:
, pois ao derivar
obtemos
. Aplicando-a:
Somando e adicionando a constante de integração
):
Passo 5
Verificação (método de checagem): sempre bom conferir derivando a resposta. Seja
Derivando:
Factorizando
:
Usando novamente a identidade produto-para-soma inversa (ou reconhecendo a identidade do Passo 2), isso é igual a
. Logo
coincide com a integranda, checando que a primitiva está correta.
Passo 6
Dica final e variação: quando o produto for de funções do tipo
com argumentos iguais, outra rota prática é a substituição
(ou usar identidade
). Para produtos com argumentos diferentes, a abordagem produto-para-soma é a mais direta. Você pegou bem essa técnica — ela aparece muito em provas.