∫ sen 3 x · sen x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas e
. Queremos uma antiderivada (a primitiva) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja
. Não há outras condições (constante de integração
aparecerá no final).
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas
Passo 2
Vamos transformar o produto de senos em soma de cossenos usando uma identidade trigonométrica conhecida (produto-para-soma). A identidade é
Derivação rápida dessa identidade (para você não decorar “cego”): usando
, temos
Assim
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, obtemos
Logo a integral vira
Passo 4
Separe em duas integrais e coloque a constante fora:
Agora use a regra básica de integração: para constante
,
. Isso vem do fato de que
, então ao integrar dividimos por
.
Passo 5
Aplique a regra ao termo a termo:
Lembrando o sinal negativo entre as parcelas, a primitiva é
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom): derive o resultado para checar.
Derivando obtemos
.
Derivando obtemos
. Somando:
Derivando
Derivando
e por passo anterior isso é exatamente
. Verificação OK.