∫ sen 3 x · sen x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \sin(3x)\cdot\sin(x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas \sin(3x) e \sin(x). Queremos uma antiderivada (a primitiva) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja \sin(3x)\sin(x). Não há outras condições (constante de integração C aparecerá no final).

Passo 2

Vamos transformar o produto de senos em soma de cossenos usando uma identidade trigonométrica conhecida (produto-para-soma). A identidade é
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin(A)\sin(B).
Derivação rápida dessa identidade (para você não decorar “cego”): usando \cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B, temos
\cos(A-B)-\cos(A+B)=(\cos A\cos B+\sin A\sin B)-(\cos A\cos B-\sin A\sin B)=2\sin A\sin B.
Assim
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).

Passo 3

Aplicando a identidade com A=3x e B=x, obtemos
\sin(3x)\sin(x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(3x-x)-\cos(3x+x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(2x)-\cos(4x)\big).
Logo a integral vira
\int \sin(3x)\sin(x)\,dx=\int \tfrac{1}{2}\big(\cos(2x)-\cos(4x)\big)\,dx.

Passo 4

Separe em duas integrais e coloque a constante fora:
\int \tfrac{1}{2}\cos(2x)\,dx-\int \tfrac{1}{2}\cos(4x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx-\tfrac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx.
Agora use a regra básica de integração: para constante k\neq0, \displaystyle \int \cos(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\sin(kx)+C. Isso vem do fato de que \tfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx), então ao integrar dividimos por k.

Passo 5

Aplique a regra ao termo a termo:
\tfrac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\sin(2x)=\tfrac{1}{4}\sin(2x),
\tfrac{1}{2}\int \cos(4x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}\sin(4x)=\tfrac{1}{8}\sin(4x).
Lembrando o sinal negativo entre as parcelas, a primitiva é
\frac{1}{4}\sin(2x)-\frac{1}{8}\sin(4x)+C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom): derive o resultado para checar.
Derivando \tfrac{1}{4}\sin(2x) obtemos \tfrac{1}{4}\cdot 2\cos(2x)=\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Derivando -\tfrac{1}{8}\sin(4x) obtemos -\tfrac{1}{8}\cdot 4\cos(4x)=-\tfrac{1}{2}\cos(4x). Somando:
\tfrac{1}{2}\cos(2x)-\tfrac{1}{2}\cos(4x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(2x)-\cos(4x)\big),
e por passo anterior isso é exatamente \sin(3x)\sin(x). Verificação OK.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin(2x)-\frac{1}{8}\sin(4x)+C

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